《钉子板上的多边形》教学与思考
2016-12-16 21:46阅读：
追寻充盈“数学味”的课堂
——《钉子板上的多边形》的教学与思考
盐城市新河实验小学 余荣军
教学内容：苏教版小学数学五年级上册108-109页。
教学目标：
1.使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，发现钉子板围出的多边形与它的边所经历的钉子数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母的式子表示发现的规律，并应用规律解决实际问题。
2.使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意识，积累数学活动经验。
3.让学生学会在观察中思考，在思考中归纳，充分感受浓浓的数学味。
教学准备：多媒体课件一套、学习研究单4张。
教学过程：
预热：猜谜。
孩子们，近期学校举行数学文化艺术节，开展了丰富多彩的活动，说说看，你都参加了哪些活动？
今天余老师还为大家带来了一个猜谜游戏，想不想参与？好！一起看，猜成语。（抢答）
看得出来，我们五（3）班的孩子反应尤其快，脑子特别灵，相信这节课大家也一定会有出色的表现。
一、激趣生疑
引发猜想
师：孩子们,今天我们将一起学习什么内容？
生：钉子板上的多边形
师：你能在钉子板上围一围多边形吗？
要求：每人围3个不同的多边形。
学生动手操作。
师：说说看你围了哪些图形？
生：长方形、正方形、梯形、五边形、不规则图形......
师：请你用数学的眼光仔细观察自己围的三个多边形，你有什么想说或想问的吗？
生1：形状不同；生2：大小不同。
师：大小不同，其实就是什么不相同？
生：大小不同，就是面积不相同。
师：今天这节课我们就重点研究钉子板上多边形的面积问题。（板书：面积）
师：这是围在钉子板上的多边形，你觉得它们的面积大小可能会与什么有关系呢？猜猜看。
生1：跟钉子有关。
生2：可能与边上的钉子数有关，因为我发现多边形边上的钉子越多，面积就越大。
生3：也可能跟里面的钉子数有关。
随机板书：边上的钉子数
里面的钉子数
师：其他同学呢？有什么想法？
（大多数学生有这两种猜想）
师：大家的猜想似乎有点道理，那究竟是不是有关系呢？有着怎样的关系呢？今天这节课我们就一起来研究它。
【评析：开门见山，直接聊关于钉子板上多边形的情况，显得干净利落，通过观察引导学生进行合理猜想，引出学习内容，为新知的探究奠定了基础。】
二、引导探究
探寻规律
1.研究里面有一个钉子的多边形面积
介绍：为了研究的方便，我们用点子图来代替钉子板，这里的点子就相当于钉子板上的钉子。（隐去钉子板，显示点子图）
说明：这里的每一行，每一列两个钉子之间的距离都是一个单位长度，在这里就是1厘米，那么这个小正方形的面积是多少呢？（1平方厘米）
出示多边形。
师：今天的研究活动，我们从简单的图形入手，找找看这三个图形在围法上有什么相同的地方？
生：里面都是一个钉子。（板书：1）
师：那么边上的钉子数一样吗？
生：不一样。
师：数数看，这个三角形的边上有几个钉子？
师：为了便于分析，我们把这些数据以表格的形式呈现出来，三角形的边上有4个钉子。
师：梯形呢？第三个多边形呢？
师：它们的面积你能求吗？三角形的面积是多少？你是怎么想的？
生：用面积公式算出来的。
师：这个梯形的面积又是多少呢？说说你的想法。
生：用面积公式算出来的。
师：五边形呢？你会怎么想？
生1：用割补法算出来的。
生2：数出来的。
师：刚刚我们通过对图形的观察与思考得到了这三组数据，现在请大家仔细观察、比较表里的数据，你能有什么新的发现？（板书：观察）
众生：它们的面积都是边上钉子数的2倍。
师：如果用S表示这些多边形的面积，n表示它们边上的钉子数，你能用一个简单的式子把它们的关系表示出来吗？（板书：S=n÷2）
提出质疑：是不是所有里面有一个钉子的多边形都会有这样的发现呢？
（有的学生认为是的，有的认为不一定。）
师：不能确定，是吧？那对我们来说这样的发现就只是一种猜想，现在你认为应该怎么办？（板书：猜想、验证）
生：验证。
师：好主意，那你们打算怎样验证？（板书：验证）
生：画一个中间只有一个钉子的多边形，先数出边上的钉子数，求出它的面积，再看看边上的钉子数是不是面积数的两倍。
师：大家听明白了吗？你是不是也这样想的？
师：下面请大家拿出学习研究单（一）开始验证。
师生交流，请两个学生结合研究单说一说验证的方法。
师追问：有没有跟我们的发现不符合的?
2.小结。
师：孩子们，刚刚我们研究了什么问题？
生：里面有一个钉子的多边形面积。
师：发现这样的多边形面积等于什么呢？
生：S=n÷2
师：接下来，你打算研究什么问题呢？
生：里面有两个钉子的多边形面积。
师：回顾我们刚刚的研究过程，我们是怎样进行研究的？小组内先说一说。
师生交流，形成共识：首先通过对图形、数据的观察比较以及分析，然后提出猜想，进行验证，最后得出结论。（板书：结论）
师：是啊，这是一种科学的学习方法，下面你能不能试着用这样的方法，在小组内合作研究里面有两个钉子的多边形面积呢？
【评析：多边形里面有一个钉子的面积规律学生很容易“发现”，因此这个环节的着力点，教者放在让学生领悟“观察-猜想-验证-结论”这样的规律探究的科学方法上，让课堂溢满了“数学味”。】
3.研究里面有两个钉子的多边形面积
出示合作研究要求：
1.在学习研究单（二）上画一个里面有2个钉子的多边形，并完成表格；
2.将所得数据填在小组研究单上；
3.组内观察、比较每组数据，发现规律。
小组合作研究。
小组汇报。（选择第三小组和第五小组的研究单，组长进行汇报）
第三小组的结论：S=n÷2+1。
第五小组的结论：n=2S-2
师：有不同的发现吗？（没有）
师引导分析，发现这两种结论只是表达方式上有区别，说明的道理其实是一样的。
提出验证：刚刚没有发现这样的结论的小组，请你们用表里的数据验证一下，看看是不是也有这样的规律？
得出规律，板书：S=n÷2+1
【评析：里面有两个钉子的多边形面积规律是本课的教学难点，教者让学生运用前面得出的研究方法尝试着探寻规律，采用独立思考与小组合作相结合的方式，探究既有挑战性，又具激励性，充分激活了学生的潜能。】
4.引导类推，发现规律
师：现在让我们一起观察黑板上的两个发现，请你先读一读，上下联系起来比一比，再静静的想一想：如果想接着写下去，当里面有3个钉子、4个钉子时，S又会等于什么呢？有什么新的想法吗？
（学生举手的很多）
师：大家都有想法是吗？咱先不说出来，请同桌两人一人验证里面有3个钉子的猜想，另外一人验证里面有4个钉子的猜想，验证好后再互相交流一下自己的想法，看看是不是跟你的猜想是一致的，好吗？快速分工一下，开始吧！
师生交流。
师：都跟你的猜想一致吗？谁愿意交流一下的？
发现：里面有3个钉子时，S=n÷2+2；里面有4个钉子时，S=n÷2+3。
（板书：S=n÷2+2
S=n÷2+3）
师：再次观察这些发现，现在你还能接着写下去吗？
师：这样写下去写得完吗？有什么新的想法？
生：用一个式子表示。
师：说出你的想法。
生：用字母表示里面的钉子数，面积数等于边上的钉子数除以2加上里面的钉子数减1。
师：如果用字母b表示里面的钉子数，面积S等于什么呢？
得出：S=n÷2+b-1（板书）
师：这里的b可以为哪些数呢？
生：所有的数。
众生：小数不可以。
生：自然数。
生：0不可以。
有不同的意见，研讨：0究竟可不可以？
师：用什么办法解决？
生：画图验证。
课件出示里面没有钉子的长方形全班一起验证，发现同样适用。
【评析：对于里面是三、四个钉子的多边形面积，教者引导学生用类比推理的方法初步得出，再进行验证，发现规律。并再次让学生通过观察、讨论、验证得出钉子板上多边形面积的“秘密”，并逐步抽象得出“皮克定理”，层次分明，充盈着浓浓的数学味。】
三、学以致用
反馈提升
提问：大家认为这些简单图形的面积需要用发现的规律去解决吗？为什么？
生：不需要，因为太简单了。
师：是啊，我们从简单的图形入手，是为了便于发现了钉子板上多边形面积的规律，当然，这些规律在以后的学习中将要进一步去证明，规律是用于解决一些较为复杂的问题的，是吧？
出示练习，解决问题。
师：这是一个不规则的四边形，通过今天的学习，你觉得要解决这样的问题，只要知道什么条件就可以解决了？
出示条件，学生口答。
四、文化渗透
总结评价
1. 回顾：今天学习了什么内容?
2. 整理：通过什么方法进行研究的？
3.文化渗透：介绍奥地利数学家乔治.皮克与“皮克定理”；介绍我国著名数学家闵嗣鹤所著的《格点和面积》，了解正方形格点多边形，拓展三角形格点多边形。
总评：
有人说：舞蹈讲究的是“韵味”，语文注重的是“品味”。我这节数学课关注的是营造浓浓的“数学味”。主要体现在教者能以数学内容为源泉，以数学问题为纽带，以数学思考为灵魂，以数学思想为核心，以数学文化为背景构建有“数学味”的课堂。
