抽屉原理的基本形式及在数学竞赛中的应用
2010-12-20 14:23阅读：
文章摘要：抽屉原理又叫鸽笼原理、狄里克列原理、重叠原理、鞋盒原理，是证明存在性问题的有效方法。它在几何问题，数列问题和染色问题方面都有着极其重要的应用。
关键词：抽屉原理 数学竞赛
数学竞赛中的抽屉原理
正文：
抽屉原理又叫鸽笼原理、狄里克列原理、重叠原理、鞋盒原理，这一最简单的思维方法在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用，它是证明存在性问题的有效方法。
抽屉原理：把n+1件物体放n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2件物体。
首先我们来看抽屉原理在几何问题上的应用：
例1 已知边长为1的等边三角形内有5个点，证明至少有两个点距离小于
。
图1
证 用两边中点的联线将边长为1的等边三角形分成四个边长为
的等边三角形，若规定边DE、EF、FD上的点属于△DEF，则△ABC内的所有点被分到4个区域，由抽屉原理，△ABC内任意5个点至少有2个点属于同一区域，显见着两点距离小于 。
由此可见运用抽屉原理，关键的一步在于找出分类原则——即制造抽屉。
例2
已知P为△ABC内任一点，又AP,BP,CP分别交对边于D，E，F，求证三个比值 ， ，
中至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2。
图2
证 用S表示△ABC的面积， ，
， 分别表示△BPC，△CPA，△APB面积，则 ，即
。所以 ，同理可得 ， ，故
=1。
上式左端三个分式中至少有一个不大于 ，也至少有一个不小于
，故得证。
抽屉原理可以处理一类几何形体相交问题，称为重叠原理。
重叠原理：空间有一个体积是V的几何体，若我们把n个体积分别是 ，
，……， 的几何体一一搬到其内部去，则当
＞V时，至少有两个几何体彼此相交。
其次，我们来看抽屉原理是如何用来解决整除问题的：
整除问题运用抽屉原理的特点，往往是注意到任一个整数n被p除时余数有p种情形，从而确定“抽屉”。
例3 任给5个整数，证明必能从其中选出3个，使得它们的和被3整除。
证 因任一整数被3除，余数只能是0，1，2，若有3个数的余数为0，1，2，则其和必被3整除，否则5个数被3除至多出现2种余数，即至少有3个数余数相同，此3数之和必能被3整除。
第三，抽屉原理在数列问题中的应用：
利用数列各项的和与数列的项数关系可以应用抽屉原理。
例4设 是
一个正整数数列，满足 (l=1,2,…)。令 ，求证：对任意正整数n，一定有下标j及k（其中j＜k），使得成立。
证 由题设有
把l个不等式相加得
故
（l为任意正整数），
由题设可知 。
故 ， ，……，
是7l个不大于12l的两两不同的正整数，同理
，又是7l个不大于12l+n的两两不同的正整数。这两组数合起来一共有14l个整数，若两组正整数无相同的，其中最大的一个，即 +n至少是14l，于是
，即2l≤n。因为l可以是任意一个正整数，给定n后，可取l=n,代入上式就得2n≤n,但n是正整数，这不可能。可见数列 ，
，……， 与数列 +n， +n，……， +n之中必相同的，即有下标j及k（其中j＜k）使 ，即
。
此题也可由“有理数必是有限小数或无限循环小数”的结论证得。
最后，抽屉原理也可以用来解决染色问题：
染色问题，更多是与图论的知识联系，但在这里，我们用运用抽屉原理来证明。
例5
在任何六个人中，总可以找到三个相互认识的人或三个互相不认识的人。
图4
证 把六个人作6个顶点，互相认识的两个对应的顶点连红线，否则连蓝线。本问题等价于，在6个点的每两点之间用红线或蓝线相连，则至少存在一个同色的三角形。
取任一顶点A,则A与其余5点的连线中至少有3条同色（抽屉原理），不妨
