495~~6174解密~~~数字陷阱－－最大减最小
2011-03-12 14:36阅读：
一、三位数字陷阱：495
任意一个三位的数其三个数字不全相同，则“这三个数字组成的最大三位数与最小数之差”（碰到0的情形将零也算一位把它拼齐三位），重复操作这样的步骤，在六步之内必得出495，之后再操作上述运算，则永远得出495.
例如
123：
321-123=198
198：
981-189=792
792:
972-279=693
693:
963-369=594
594:
954-459=495
此证明较
简单
1）首先495自身排列相减为：954－459＝495，因此逃不出陷阱。
2）设三位数为abc,a>=b>=c, 由于不全相等，因此a>c
则相减后，abc-cba=x9y,
x=a-1-c;y=10+c-a
个位数要借位减（因为c<a)，为y=10+c-a,接着其十位数也要借位减，其值必定为9，百位数为x=a-1-c(百位数可能为0）。
而且x+y=9,因此所得的数十位数为9，个位与百位数之和也为9，数字总和为18，能被9整除。
这一类相减后的数总共也就只有099，198，297,...990这几个。
更重要的是，每次相减后，个位与百位数相差在减小（不考虑符号）：原来a-c，减后变为 x-y=2(a-c)-11。
因此若干次后必定相差值会变为1，即x,y分别为4和5了。这样就成495了
二、四位数字陷阱：6174
任意一个四位的数，其四个数字不全相同，则“这四个数字组成的最大四位数与最小数之差”（碰到0的情形将零也算一位把它拼齐四位），重复操作这样的步骤，在七步之内必得出6174，之后再操作上述运算，则永远得出6174.
例如
2223:
3222-2223=0999
0999：
9990-0999=8991
8991：
9981-1899=8082
8082：
8820-0288=8532
8532：
8532-2358=6174
6174：
7641-1467=6174
证明也与上面类似。有些规律可以掌握：
比如当中间两个数不同时，相减后个位数与千位数之和为10，十位与百位数之和为8。数字总和为18，能被9整除。
abcd-dcba=(a-d)(b-1-c)(9+c-b)(10+d-a)
,a>=b>c>=d
当中间两个数相同时，相减后个位数与千位数之和为9，十位与百位数都为9。数字总和为27，也能被9整除。
abbd-dbba=(a-1-d)99(10+d-a)
,a>=b=c>=d
