如何直观理解“线性方程组解的结构”
2015-05-23 16:38阅读：
线性方程组的求解实质上是求交集。
“线性”更准确讲是“linear即直线的”。
当把每一个方程视作空间约束（二维是直线，三维是平面，以上是超平面）后，
交集的可能性易见：
二维时，两条直线可能是①平行（无解）②相交（唯一解）③重合（无穷多解）
三维时，两个平面可能是①平行（无解）②相交（无穷多解）③重合（无穷多解）
线性方程组“齐次”与“非齐次”是什么？
所谓“次”指未知数x作幂函数底时对它所取的次数，这里研究线性，故取1次。
“齐次”来自“homogeneous即同性质的”，故方程内各xi取同次，线性时，故均取1次。
而线性方程的“齐次”与“非齐次”差别仅在于常数项是否为零，“非”体现在哪里？
0=0xin，即对不定次未知数乘系数零，n当然包括1。
b=bxi0，这里未知数的次数为0≠1
，故“非齐次”。
齐次线性方程是过坐标原点的，非齐次线性方程由于存在非零偏移量b，故不过原点。
矩阵可视作一种变换，也可视作向量在空间中的静态位置关系。
上图中的矩阵Am×n如果从后者的角度出发，可有如下两种解释。
①
以列向量考虑，可视作n个m维向量在m维空间内的静态位置关系。
即3个2维向量在2维空间中存在，如上图右侧坐标，3个向量在2维坐标系内共线。
②
以行向量考虑，可视作m个n维向量在n维空间内的静态位置关系。
即2个3维向量在3维空间中存在，如上图左侧坐标，2个向量在3维坐标系内共线。
注意：不论从行列出发考虑，几个向量所张成的空间都是1维的（沿红色箭头），因为共线。
这也说明矩阵不论转置与否，秩（rank）是不会随之改变的。
当A作为系数矩阵时，线性方程组的解是什么呢？
先看齐次时，即AX=O
①
从最直观的空间约束考虑，是3维空间内2个平面的关系。
由于2个平面均过坐标原点，没有截距，不好直观把握，但通过两行成比例，
可得知2个平面重合，故解为无穷多，且就是这2个平面重合所在的这个平面。
②
从列向量考虑，是要找到一组3个未知数，让列向量的合成向量为0，不太直观。
③
从行向量考虑，由于矩阵的乘法规则中，行列做内积，故可以理解为在行向量所在
的3维空间内，寻找过原点且与这2个向量同时不做功（⊥）的向量的全集。
由于这2个向量共线，故此全集应该为一平面，且包含0向量。如图左侧灰色平面。
（同理对于矩阵AT，其对应全集为一条过原点直线，如图右侧灰色箭头直线。）
以上，得到的解的全集，称为AX=O的解空间。
由于解空间是子空间，对加法与数乘封闭，故可以找到一组基来表示，也叫基础解系。
齐次线性方程均过坐标原点，所以平行就只能重合，故AX=O总有解。
要么是零解（rank=n），要么是无穷多解（rank＜n）。
零解：2条直线仅在原点处相交，3个平面仅在原点处交汇。
无穷多解：2条直线重合，3个平面其中某2个重合、3个重合、于一条直线处交汇。
再看非齐次时，即AX=b
由于存在非零偏移量b，便多了平行的可能性，导致无解。
此时将Am×n看做一般矩阵，先探讨秩（rank）与m和n的关系。
①
r（A）≠
r（A |
b）无解
即A的空间张成维度 ≠
（A | b）的空间张成维度
说明向量b不在A张成的向量空间内，因此找不出一组未知数用A的基构造b。
②
r（A）=
r（A | b）=
n 有唯一解
r（A）=
n
说明AX=O只有零解，由于b只起平行偏移的作用，
故仅在原点处交汇变为仅在不同于原点的某点处交汇。
或从矩阵是一种变换的角度考虑，|A
|≠0，变换不会丢失信息。故像b必有唯一原像X。
③
r（A）=
r（A |
b）＜n 有无穷多解
r（A）＜n
说明AX=O有无穷多解，由于b只起平行偏移的作用，
故如果b选取的恰当，可保持无穷多解，避免出现无解。但对b的选取不太直观。
或从矩阵是一种变换的角度考虑，|A
|=0，说明进行了某种从高维度向低维度的投影变换，
由于r（A）=
r（A |
b），说明b在A张成的向量空间内，则只要满足投影法则生成像b
的原像X均是解，因为X所在维度高于A，故至少多出1个自由度无法被A约束。
以上，得到的不过原点的解，即为AX=b的全部解，也叫通解。注意它不是子空间。
可以理解为在AX=O的解空间的基础上，平行偏移了一个位置所得。
故非齐次线性方程组的解由AX=b的某一特解与其导出组AX=O的基础解析所矢量合成。
图中所示A将3维空间内的立方体，投影为2维空间内的一条直线。
左侧灰色平面所在空间为AX=O的解，立方体与此平面有交集的部分都将被压缩至原点。
类推地，平面沿红色箭头平移所扫描的立方体各断面，均将收缩至与红色箭头的交点处。
故直线上每个点，均对应3维空间内的一个平面，这个平面按照AX=b解的结构的合成法则得来。
