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（数列）差分数列的定义、运算与应用

2011-02-06 20:56阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1944220795

一、差分数列的定义

（数列）差分数列的定义、运算与应用
二、差分数列的运算

⒈k阶差分数列的表示

（数列）差分数列的定义、运算与应用
⒉差分数列的运算性质

满足分配率

（数列）差分数列的定义、运算与应用

三、差分数列的应用

凡是n的指数型与含n的常数次多项式相加或相乘的通项公式都可以用差分数列去求

例1：

（数列）差分数列的定义、运算与应用
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（数列）差分数列的定义、运算与应用

例2:

（数列）差分数列的定义、运算与应用
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（数列）差分数列的定义、运算与应用
§一般形式：差分数列应用于数列求和（数列通项为只含n的多项式）

由例1可知，对于任意一个通项为只含n的k次m项式（其中m为小于等于k+1的正整数）

它的求和通项公式一定是只含n的k+1次多项式

不妨设
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可见，若数列的通项为含n的j次多项式，那么这个数列的j+1阶差分数列一定是0

而j+1阶差分数列可以形成j+1阶线性常系数齐次递推关系

其特征方程都是 （数列）差分数列的定义、运算与应用
特征根都是 （数列）差分数列的定义、运算与应用

所以，对于任意一个数列，只需知道数列通项的n的最高次数，和数列的前几项，便可待定出数列的求和通项

设数列的通项 （数列）差分数列的定义、运算与应用的 n 的最高次数为k

那么求和通项 （数列）差分数列的定义、运算与应用的 n 的最高次数为k+1

所以数列 （数列）差分数列的定义、运算与应用的k+2阶差分数列为0

即 （数列）差分数列的定义、运算与应用
得到k+2阶线性常系数齐次递推关系后，特征方程便可表示为

（数列）差分数列的定义、运算与应用

之后便可设

（数列）差分数列的定义、运算与应用

系数由数列 （数列）差分数列的定义、运算与应用的前k+2项待定
§一般形式：差分数列应用于数列求和（多项式与等比复合型）

（数列）差分数列的定义、运算与应用
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（数列）差分数列的定义、运算与应用
这样一共减m+2次后，可得到m+2阶线性常系数齐次递推关系

具体的系数为

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特别注意的是

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解求和通项依旧用待定系数法
用此法秒杀任一多项式等比复合型求和

例

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