离散傅里叶变换（DFT）的矩阵形式

2016-05-01 14:02阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1950728852

最近在研究压缩感知的过程中，必不可免的问题就是如何将信号稀疏化。那么，如何构建稀疏化的矩阵呢？在此，我先介绍以一种稀疏化矩阵：DFT（离散傅里叶变换，其实在压缩感知中用的很少，(-__-)！）。
对于傅里叶变换，我的情感是复杂的，各种傅里叶，各种形式，只能用一句话描述我的内心，那就是：纵使傅里叶虐我千百遍，我却待她如初恋。废话不多说了，先看一下离散傅里叶变换的公式：

离散傅里叶变换（DFT）的矩阵形式

公式1
看着如此简单的公式，其实暗藏玄机，往往我们忽略的都是最重要的细节。第一，这个公式针对的是离散周期信号，得到的频域也是离散周期频信号。这也是最普遍使用的公式，方便在计算机上计算。即使信号不是周期信号，在计算机上计算的时候，由于序列长度有限，我们就可以认为这只是信号的一个周期内容。同样，我们输入到计算机中的序列一定是经过采样定理采样后的信号，因此任意一个信号在计算机上做傅里叶变换的时候，都是离散周期信号！！第二，如果信号x(n)是周期函数，那么信号应该限制在

一个周期T1之内。第三，变换前后的序列长度是一样的都为[0,N-1]。第四，信号长度N与采样频率f是不一样的，他们的关系是：N=f*T1，其中T1为信号总时间。第五，变换后的横坐标轴不是1,2,3……，而应该是f1,2*f1,3*f1……，因为非简化的离散傅里叶变换公式应该是：

离散傅里叶变换（DFT）的矩阵形式

公式2-1

离散傅里叶变换（DFT）的矩阵形式

公式2-2
其中，T1为信号时间，N为信号采样数，Ts为信号采样间隔时间，f1为频率间隔。这样就能很清晰的看到，变换后的坐标轴都是f1的整数倍。由时域采样间隔Ts，确定频域重复周期fs，而df→f1=fs/N，即确定了频域的横轴坐标。要想详细了解可以看郑君里的《信号与系统》下册，第九章内容。
好像跑题了，不过离散跟连续真的是有很大的区别，需要特别关注。继续说如何得到离散傅里叶的矩阵形式，我们将上式展开写成如下形式：

离散傅里叶变换（DFT）的矩阵形式

公式3
显而易见，上式中的W各次幂组成的矩阵就是我们要找的离散傅里叶变换矩阵。是不是很简单呢？同理，我们可以得到IDFT的变换矩阵如下：

离散傅里叶变换（DFT）的矩阵形式

公式4
可以从上面看出，两个变换矩阵都是方阵，而且都是对称矩阵。
对于DFT的正变换在matlab中，已经有写好的程序为dftmtx(n)。而逆变换的矩阵可以通过求dftmtx(n)矩阵的逆，当然也可以自己写（突然发现自己好蠢，为毛要自己写）。matlab程序如下：
N=width;
x=(0:N-1)'*(0:N-1);
W=exp(2*pi*1i*x/N)/N;
总结一下，其实大部分变换都存在变换矩阵，就是将变换从公式形式向量化，写为矩阵形式即可。其次，因为我们往往会在计算机上使用，也就意味着我们用到的都是离散变换，而离散域跟连续域的不同是我们要特别注意的，我也已经在文中写了几条，也希望各为大神给予指点。

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