三力平衡公式证明
2011-04-04 07:41阅读：
昨天听邵老师在数学课上提到了向量，而我马上就反应过来：那叫力！（结果全班哄堂大笑……）好了，不说笑话了。提到理我突然想起一个公式：f²=G²+N²-2GNcosα（注：这是针对处于平衡态的物体而言的）.其中f为摩擦力，G为物重，N为支持力，α为斜面与水平面的夹角，力的示意图如下：
如果把它看做一个几何图形，那么图形是这样的：
其中，点C为物体重心，CF为摩擦力，CA为支持力，CB为重力。根据平行四边形法则，CD为重力与支持力的合力，因为物体处于平衡态，由二力平衡的特点可得所以CD=CF。由于是摩擦力，所以DF平行于斜面L1。L3为水平面，L4与L2平行于L3。
因为L2平行于L3，
所以角α=角1，
因为角1和角2为对顶角
所以角2=角α
由于CA为支持力，L1为斜面，
所以角2与角4互余，
又因为BC为重力，
所以BC垂直于L2，
又因为AD平行于BC，
所以AD垂直于L2，
所以角3与角4互余。
所以角3=角2，
又因为角2=角1=角α，
所以角3=角α，
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以角DBC=角3，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以BD=AC，
又因为角DMB=90°
所以BM=cos角DBC=cos角α，BM²=BD²-DM²
因为角DMC=90°，
所以CD²=DM²+MC²，
=BD²-BM²+(BC-BM)²
=BD²+BC²-2BC*BM
=BD²+BC²-2BC*cosα*BD
又因为CD=f，BD=N，BC=G，
所以f²=N²+G²-2GN*cosα
