常微分方程初值问题的数值解法

2015-06-15 22:37阅读：

课题名称

通过编写程序使用数值方法解常微分方程初值问题。
解决的问题

利用Euler方法和改进的Euler方法求解初值问题：

分别取步长0.1， 0.2， 0.4. 此初值问题的精确解为:
采用的数值方法
1. Euler方法
本实验采用了Euler方法和改进Euler方法。

对于一阶常微分方程初值问题：

Euler方法是解常微分方程初值问题最简单最古老的一种数值方法，其基本思路就是把上式中的导数项用差商逼近，从而将一个微分方程转化为一个代数方程，以便求解。

设在中取等距离结点h，在结点上，由上式有：

又由差商定义可得：

所以有：

用的近似值带入上式，则有计算的Euler公式：

通过对Euler法公式泰勒展开进行分析可以发现Euler方法为1阶方法。

利用梯形公式对Euler方法进行改进，可得：

改进的Euler方法是用Euler方法先求一个预测值，再用这个预测值来计算，即：

用泰勒展开容易知道改进的Euler方法具有二阶精度。

算法程序

要实现的方法是Euler法和改进Euler法，源程序在实验报告附件中，这里展示部分核心代码。

首先是迭代式的实现函数，实现代码如下：

以及一个求解精确值的函数，用于比较和计算误差：

接下来是Euler法的实现过程，利用之前的式子：

然后是改进Euler法的实现过程，同样是利用之前的式子：

完成了以上工作之后，只需要编写一个简单的测试函数就可以调用了：
数值结果

对于初值问题：

实验测试结果如下：

分别去不同步长数值结果统计如下：

表格 1 h=0.1

表格 2 h=0.2

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