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sturm 定理（百科）

2011-06-26 21:10阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1988634933

施图姆定理是一个用于决定多项式的不同实根的个数的方法。这个方法是以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆命名的，但实际上是约瑟夫·傅里叶发现的。
施图姆定理与代数基本定理的一个区别是，代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数，把重根也计算在内，而施图姆定理则只涉及实根，且不把重根计算在内。施图姆序列
我们首先从以下不含平方因式的多项式构造一个施图姆序列：
X=a_n x^n+\ldots +a_1 x+a_0.
施图姆序列是把辗转相除法
应用于X和它的导数X1 = - X′时，所得到的中间结果的序列。
施图姆序列由以下公式计算：
\begin{matrix} X_2&=&-{\rm rem}(X,X_1)\\ X_3&=&-{\rm rem}(X_1,X_2)\\ &\vdots&\\ 0&=&-{\rm rem}(X_{r-1},X_r), \end{matrix}
也就是说，序列中每一项都是前两项相除所得的余数，并将其变号。由于当 1 \le i < r时， \operatorname{deg} X_{i + 1} \le \operatorname{deg} X_i - 1，因此这个序列最终要停止。最后一个多项式，Xr，就是X和它的导数的最大公因式。由于X没有重根，因此Xr是一个常数。于是，施图姆序列为：
X,X_1,X_2,\ldots,X_r . \,

表述

设σ(ξ)为以下序列中符号变化的次数（零不计算在内）：
X(\xi), X_1(\xi), X_2(\xi),\ldots, X_r(\xi), \,\!
其中X是不含平方因式的多项式。于是，施图姆定理说明，对于两个实数a < b，半开区间(a,b]中的不同根的个数为σ(a)−σ(b)。

应用

通过恰当选择a和b，这个定理可以用来计算多项式的实根的总个数。例如，柯西发现的一个定理说明，系数为ai的多项式的所有实根都在区间[−M,M]内，其中：
M = 1 + \frac{\max_{i=0}^{n-1} |a_i|}{|a_n|} . \,\!
除此以外，我们还可以利用下列事实：对于很大的x，以下多项式的符号
P(x)=a_n x^n+\cdots \,\!
是sgn(an)，而sgn(P(−x))则是sgn((−1)nan)。
用这种方法，仅仅计算施图姆序列中首项系数的符号变化，就可以得出多项式的不同实根的个数。
通过施图姆定理的帮助，我们还可以决定某个给定根（例如ξ）是几重根。确实，假设我们知道ξa和b之间，且σ(a)−σ(b) = 1。那么，ξ是m重根正好当ξ是Xr的m−1重根时（这是因为它是X和它的导数的最大公因式）。

广义施图姆序列

设ξ位于紧区间[a,b]内。[a,b]上的广义施图姆序列，是实系数多项式(X0，X1，……，Xr)的一个有限序列，使得：
  1. X(a)X(b) ≠ 0
  2. sgn(Xr)在[a,b]内是常数
  3. 如果当1 ≤ i ≤ r−1时，Xi(ξ) = 0，那么Xi−1(ξ)Xi+1(ξ) < 0。
我们可以验证每一个施图姆序列确实是广义施图姆序列。

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