新浪博客

专题四：如何构建相遇问题的数学模型

2011-09-16 10:06阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2010738510

专题四：如何构建相遇问题的数学模型
执教 刘 雯 东营市实验学校
设计 魏瑞霞 东营市实验学校
本专题研究的基本理念：
这里的“数学应用问题”是指运用数学知识和方法解决生活的实际问题。
1．建立数学模型是解决数学应用问题的本质。
数学建模是20世纪下半叶，随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法，是数学应用问题的基本模式。我国著名教育专家张奠宙教授指出：“解决数学应用问题的本质是数学建模。”《数学课程标准》明确指出：“义务教育阶段的数学课程不仅要考虑学生自身的特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将数学实
际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程……”。
所谓数学模型，是指现实世界的某一事物系统，为了一个特定的目的，根据事物系统特有的内在规律，采用形式化的数学语言或数学符号，概括或近似地表达出来的一种数学结构。简单地说，数学模型就是对实际问题的一种数学表述，是对现实原型的概括，是数学基础知识与数学实际应用之间的桥梁。
小学阶段的数学建模通常是从实际生活原型或提供的实际背景出发，充分运用观察与实验、操作与比较、分析与综合、抽象与概括等思维方式，去掉非本质的东西，用数学语言或数学符号表述出数学模型，再运用数学模型解决一些实际问题。简单地说，就是将当前的问题转化为数学模型，然后用数学的方法去求解。
《数学课程标准解读》中指出：数学建模的建立过程大致如下框图：
由此可知，数学建模的过程即解决问题的过程，解决问题是数学建模的载体，数学建模是解决问题的本质。在具体的教学实践中，我们根据小学生的认知规律、年龄特点和教学内容的特征，遵照“问题情境——建立模型——应用拓展”的基本步骤，设计了构建应用问题的数学模型的基本思路：创设问题情境，发现提出问题——建立模型准备；自主整理信息，探究解决问题——建立数学模型；解释应用拓展，体验数学价值——应用数学模型。
2．落实两个转化是建立数学应用问题模型的途径。
数学建模的过程实质上就是解决问题的过程。我国著名的小学数学教育专家周玉仁教授指出：解决问题是一个系统工程。小学生解决问题的过程，实质上是完成认识上的两个转化：第一个转化是从纷杂的实际问题中，筛选出有用信息，从而抽象成数学问题——从生活原型中抽象出数学问题是“数学建模”的起点；第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，全面分析其中的数量关系，探索出解决问题的方法并求解，必要时回顾反思解决问题的过程——分析数学问题，建立数学模型是“数学建模”的核心。解决问题的“两个转化”相辅相成，缺一不可。
反思传统“应用题”的教学不难发现：过去教学特别重视第二个转化，引导学生分析条件和问题间的关系，根据数量关系列式解答并检验——这是解决数学应用问题必须具备的基本能力。但是，最大的缺失是忽视第一个转化，问题采用文字形式由教材或教师直接出示，学生搜集、整理、加工信息的能力，及发现问题、提出问题的能力薄弱——这也是我国传统应用题教学中的一大弊病。
鉴于此，在教学数学应用问题时，我们既重视“解决问题”的第一个转化：从学生的生活实际出发，创设与学生的日常生活紧密联系的上学情境，且采用动画形式呈现，学生在现实而有趣的、富有挑战性的问题情境的吸引下，主动发现问题、提出问题，进而提炼生成完整的数学问题，帮助学生顺利完成解决问题的第一个转化；同时，我们也重视“解决问题”的第二个转化：即放手让学生自主整理信息——理清数量关系；借助直观图形——探明解题思路；明确解题方法，独立列式解答——自主建构应用问题的数学模型，帮助学生顺利完成解决问题的第二个转化。这样，同时重视并扎实完成“两个转化”，让学生有效经历“解决问题”的全过程，从而大面积提高学生解决问题的能力，达到增强解决问题实效性的目的。
3．获得数学思想方法是构建数学应用问题模型的核心。
《数学课程标准》在课程总体目标中明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必需的应用技能；初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。
孔企平先生在《小学数学课程与教学论》一书中也指出：解决问题活动的价值不只是获得具体的结论，主要价值在于使学生初步学会从数学的角度发现问题、提出问题和解决问题；综合运用数学知识方法解决简单的实际问题；获得分析和解决问题的一些基本方法，并在此基础上形成解决问题的基本策略，掌握其思想方法。
因此，教学数学应用问题时，我们着眼于学生的发展需要，根据课程标准的要求，设计了一明一暗两条线：明线是指数学基础知识和基本技能，即结合解决应用问题，理解运算顺序，掌握运算方法，并应用解决实际问题；暗线是指数学思想方法，即在解决应用问题的过程中，学生运用并形成的模拟与实验、操作与画图、摘录与列表、分类与比较、综合与分析等解决问题的一些基本方法策略，及数形结合、数学模型等数学思想方法。这样，在落实数学双基教学的过程中突出数学思想方法的教学，并将数学思想方法的教学有机地融合于基础知识和基本技能的教学之中，实现数学思想方法教学与双基教学的和谐统一。
本课题教与学的内容、目标及设计：
【教学内容】：
青岛版《义务教育课程标准实验教科书·小学数学》四年级上册第46页。
【内容简析】：
相遇问题隶属于行程问题的范畴，是一种典型的数学应用问题。相遇问题的学习是建立在学生已学“路程、时间、速度”的概念及其数量关系的基础上，从研究一个物体的运动情况扩展到研究两个物体的运动情况展开的。同时，学生学会解决两、三步简单实际问题的基础知识、基本技能、解题经验、方法策略等，都为构建相遇问题的数学模型提供了重要基础。是今后进一步学习其它行程问题、工程问题等问题的基础。
【教学目标】：
1．借助生活事例，运用模拟表演策略帮助学生理解“两个物体”、“两个地方”、“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”等关键词的含义，逐步提炼形成相遇问题，理解相遇问题的基本结构特征；
2．结合具体情境，运用摘录、表格、画图等策略引导学生整理信息、分析相遇问题的数量关系，初步构建起相遇问题的数学模型，进而自主解决问题；
3．在解决问题的过程中，引导学生亲身经历“发现问题——提出问题——研究问题——解决问题”的过程，形成解决问题的策略，积累解决问题的活动经验，增强学生的数学应用意识及运用知识方法解决简单实际问题的能力。
【教学重点】：
用画线段图的方法分析“相遇问题”的数量关系，构建数学模型；
【教学难点】：
理解相遇问题的基本特征，构建“速度和×时间=总路程”这一数学模型；
【教具准备】：多媒体课件；
【教学设计过程】：
一、借助身边事例，复习引入新知——唤醒旧知模型，激活认知经验。
1．教师出示问题，学生独立解决，并回忆其数量关系。
教师：在我们的身边、在我们的生活中处处都有数学。如：王明步行去上学，每分钟走70米,5分钟到达学校。王明家到学校相距多少米？
2．学生独立解决后，集体反馈意见，并揭示其数量关系。
出示：速度×时间=路程
3．教师小结，引入新知。
教师：这是过去学习的一个物体运动的问题，我们今天一来起研究两个物体运动的问题。
【设计意图：从学生的生活实际出发，设计一个与现实生活紧密联系的上学情境，从学生的最近发展区出发，唤起学生对旧知模型——“速度×时间=路程”的回忆，既激活学生已有的认知经验，了解学生的学习起点，又帮助学生准确把握新旧问题的衔接点，找准新问题的生长点。以旧引新，导入新课。】
二、创设现实情境，发现提出问题——实现解决问题的第一个转化
（一）初次观看两物体的运动过程，寻找新知学习的切入点——唤起相遇问题的生活经验。
1．媒体播放王明和李华上学的动画情景，诱发学生观察他们的运动过程。
（动画情景的内容大致如下：王明和李华分别住在学校的两侧，两人同时从家出发，相对而行，经过5分钟两人同时到达学校。）
2．结合观察到的运动现象，引导学生用语言描述他们两人的运动过程。
【设计意图：借助动画情景，一方面诱导学生初次感知两个物体的运动，从直观的角度感知“相遇问题”的特征；二方面借助学生的观察和描述，了解学生对“相遇问题”已有经验和认知基础，帮助教师寻找新知学习的切入点和生长点；三方面通过观察和用语言描述两个物体的运动过程，培养学生的观察、想象和语言表达能力。】
（二）模拟两物体的运动过程，理解相遇问题的基本特征——构建相遇问题的运动模型。
1．媒体再次播放上述动画情景，教师和一名学生模拟情境，现场表演王明和李华的运动过程。
（1）教师和学生在同一个位置。学生会发现应该从两个不同的地方出发，板书“两个地方”。
（2）师比学生晚走了一会儿，大约3步的时间。学生会发现两个人应该同时出发，板书“同时出发”。
（3）教师走的方向不对，拐弯走了。学生会发现两人应该面对面走。教师指出“面对面”在数学上称之为“相对而行”，板书“相对而行” 。
（4）师生最后走一遍正确的，两人同时到达学校，也就是说两人在学校相遇了，板书“最后相遇”。
2．现场模拟表演后，引导学生用上“两个物体”、“两个地方、”“同时出发”、 “相对而行”、“最后相遇”这几个关键词描述他们的运动过程。
3．同桌两人边打手势演示边用上“两个物体”、“两个地方、”“同时出发”、 “相对而行”、“最后相遇”等关键词描述他们两人的运动过程。
【设计意图：这是建立数学模型的必要阶段。我们都知道，数学模型是关于现实世界为某种目的的一个抽象的、简化的数学结构。同时，建立数学模型的目的是为了科学、有效地描述自然现象和社会现象，进而解决实际问题。因此，任何数学模型的建立都有具体的现实情境。教学这节课时，教师要创造学生比较熟悉的、且亲身经历的、含有数学问题的上学情景。这样，从学生熟悉的生活实例入手创设问题情境，采用模拟表演、打手势等直观生动的演示方式描述王明和李华的运动过程，一是激发学生的数学学习兴趣，调动学生眼、耳、手、口等多种感官并用，吸引学生积极主动地投入到探究学习活动中来；二是借助学生已有的生活经验和认知基础，让学生了解数学问题的实际背景，并引导学生理解“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”等关键词的含义，掌握相遇问题的基本特征，初步建立相遇问题的模型雏形，为建立数学模型做好准备；三是引导学生学会用数学的眼光观察自己的生活，感受到生活中处处有数学，数学能帮助我们解决许许多多简单的实际问题，体验数学的意义和价值。】
（三）添加相关信息，提炼生成相遇问题——构建相遇问题的语言模型。
1．在动画情境中添加王明和李华的速度信息，引导学生填上信息，并再次描述两人的运动过程。
速度信息为：王明每分钟走70米，李华每分钟走60米。
2．根据动画情境中的相关信息，引导学生提出相关的数学问题。
教师：根据情境中的相关信息，谁能提出一个数学问题？
学生可能会提出以下几方面的问题：
问题1：王明走了多少米？
问题2：李华走了多少米？
问题3：王明比李华多走了多少米？
问题4：王明和李华一共走了多少米？
问题5：他们两家相距多少米？
…………
3．教师定向，提炼生成完整的相遇问题。
教师：同学们真了不起！发现并提出了这么多的数学问题，下面我们先来研究解决“他们两家相距多少米？”这一问题。
多媒体出示该问题：王明和李华同时从家出发，相对而行。王明每分钟走70米，李华每分钟走60米。经过5分钟两人在学校相遇，他们两家相距多少米？
学生读题后，教师揭示课题：这个问题就是这节课我们要研究解决的——相遇问题。
教师板书课题：相遇问题
【设计意图：在初步理解相遇问题基本特征的基础上，添加相应的数学信息，提炼生成完整的数学问题，一方面帮助学生把“生活问题”转化为“数学问题”，顺利完成解决问题的第一个转化；二方面帮助学生构建起相遇问题的语言模型；三方面培养学生根据数学信息发现数学问题、提出数学问题的能力。】
三、自主解决问题，构建数学模型——实现解决问题的第二个转化
（一）运用解题策略，自主整理信息——构建起相遇问题的图形模型。
1．放手让学生运用已有的解决问题的策略，自主进行信息整理。
教师：这个问题中的信息较多，且数量之间的关系不易发现。下面请同学们用自己喜欢的方法将信息加以整理，比比看谁整理信息的方法最好，能将题中信息最简洁明了地呈现给大家。
学生自主整理信息，教师巡视指导，顺便了解学生整理信息的基础。
根据以前解决问题的基础和经验，学生可能用到以下整理信息的策略：
策略1：摘录。

策略2：列表。

速度
 时间
 分路程
 总路程
王明
 70米∕分
 5分
 70×5
 70×5+60×5
李华
 60米∕分
 5分
 60×5


策略3：画示意图。

策略4：画草图。（略）
策略5：操作法——摆纸条。

2．组织学生以小组为单位交流各自整理信息的方法，互相学习，取长补短；同时，组长做好记录，看本组内出现了几种不同的整理信息的方法。
3．以小组为单位汇报整理信息的方法，教师适时组织学生互相质疑问难，补充完善。
4．引导学生对各种整理信息的方法加以分析与比较，沟通各种方法的内在联系，理清各种方法的异同点，突出画线段图整理信息的优越性和必要性。
教师：同学们真了不起，想到了这么多整理信息的方法。仔细比较这些方法，你认为哪种方法最直观形象，让我们一眼就能看明白题目的意思？
在学生独立思考的基础上，小组内交流意见，达成共识后向全班汇报。
5．重点讲解画线段图整理信息的方法，帮助学生构建相遇问题的图形模型。
教师：这些整理信息的方法虽然所表达的题意相同，但画图的方法更能直观想象地表示出题意。其中，画线段图尤为简洁明了。
教师边将画线段图的要领，边在黑板上画出线段图。

【设计意图：整理信息的过程即分析数量关系的过程，而分析数量关系则是解决问题的关键。活动中，放手让学生运用已有的知识基础、方法策略和活动经验，用自己喜欢的方法对问题情境中相关联的信息加以梳理。一方面借助整理信息，将抽象难懂的文本信息转化为形象易懂的图画、图表信息，帮助学生直观形象地理清信息之间的关系，架构起信息与信息之间、信息与问题之间的内在联系，为有效解决问题做好铺垫；二方面加强对各种解题策略的分析与比较，重在梳理已有的解题策略，沟通各种方法的联系，理清各种方法的异同，突出画线段图整理信息的优越性和必要性；三方面在“自主整理——组内交流——展示汇报——分析比较——提炼升华”等一系列活动中，有意识地引导学生获得解决问题的策略，积累解决问题的经验，提高解决问题的能力。】
（二）独立列式计算，自主解决问题——构建相遇问题的算式模型。
教师：“两家相距多少米”这个问题，该怎样解决呢？
（2） 学生独立列式计算，教师挑选解法不同的学生板演。
主要出现以下两种解法：
解法1: 70×5＋60×5 解法2：（70＋60）×5
=350＋300 =130×5
=650（米） =650（米）
2．请解法不同的学生向大家说明自己的解题思路。
学生可能出现两种分析、解决问题的思路：
思路1：从已知信息入手，逐步求得要解决的问题，即综合法。
思路2：从要求问题入手，找寻已知信息，逐步解决问题，即分析法。
【设计意图：这是建立数学模型的关键阶段。即在学生自主整理信息，理清数量关系，明确解题思路，探究计算方法的基础上，学生独立列式解答，建构起了相遇问题的算式模型。】
（三）分析比较解法，抽出数量关系——构建相遇问题的本质模型。
1．结合学生的不同解法和分析思路，引导学生抽出相应的数量关系。
即：王明走的路程＋李华走的路程=总路程；
速度和 × 时间 = 总路程
2．利用多媒体课件重点动态演示第二种解法的分析思路，直观形象地帮助学生理解5个（70+60）的意义，进一步理解这种解题方法。最后的成像如下：

3．总结：引导学生从基础知识的学习、方法策略的获得，解题经验的积累等方面谈谈自己的收获和体会。
【设计意图：这是建立数学模型的重要阶段。即根据相遇问题的结构特征和建立相遇模型的目的，引导学生对分析解决问题的过程进行观察与比较、分析与综合、抽象与概括，引领学生提炼出相遇模型背后所蕴含着的结构性知识，并运用形式化的数学符号刻画出这种数学结构——“速度和×时间=总速度”，从而建立相遇问题的基本模型。】
四、解释应用拓展，解决实际问题——运用数学模型，体验数学的价值。
【设计意图：建立数学模型的目的是更好的描述自然现象和社会现象，从而帮助人们更好地去认识自然、认识社会，改造自然、改造社会。通过建立数学模型可以教给学生一些数学思想方法，为将来进一步学习和将来的社会实践打下坚实的基础；对所建立的数学模型进行合理的解释、应用，才能使所建立的数学模型具有生命活力。因此，设计了“基本练习——巩固新知，拓展练习——揭示本质和延伸练习——灵活运用”三个层次，对相遇问题进行解释和应用。这样，学生在生活化的内容，数学化的探索中获得的知识、方法、经验等。数学模型只有在解释和应用于生活中时，才能焕发出数学的魅力和价值。】
1．基本练习，巩固新知。

【设计意图：引导学生运用新学到的知识技能、解题方法、解题策略等解决与例题相类似的相遇问题。】
2．拓展练习，揭示本质。
教师：生活中，除了走路能相遇，还有一些相遇的例子。例如工程队挖水渠、修公路、凿隧道等问题（引出工程问题）。

学生独立解决问题后，课件揭示该题的数量关系：工效和×时间=工作总量。
【设计意图：引导学生将相遇问题的解题策略和解题经验进行迁移，解决与之类似的工程问题，丰富相遇问题的内涵，揭示该类问题的本质，构建该类问题的数学模型，促使学生形成该类问题的认知结构体系。】
3．延伸练习，灵活运用。
教师：相遇问题在我们的生活中处处可见，你还能举出一个相遇问题的例子吗？
学生举例后，媒体展示以下问题，时间不足可留给学生课下探究解决。
（1）放学了，张红和王青同时从学校出发，背向而行，5分钟后两人到家。（如下图）两家相距多少米？

（2）两艘轮船同时从上海和武汉相对开出，客船每小时行65千米，货船每小时行35千米。航行8小时后，两船还相距300千米。上海到武汉之间的水路全长多少千米？
教师：生活中相遇问题的例子还有许许多多，希望同学们善于用数学的眼睛观察周围的现实社会，用数学的头脑思考身边的社会现象，用数学的思想方法解决生活中的实际问题。感兴趣的同学课下研究和解决上述两个问题。
【设计意图：相遇问题会延伸出多种情况，如背向而行问题；相向而行，但没到相遇点的问题；相遇后继续行走的问题等等。借助该类问题，一方面有利于帮助学生打破思维定势,拓展相遇问题的外延，拓宽解决问题的思路，积累解决问题的经验，提高解决问题的能力；另一方面“只有结束的课堂，没有结束的探索”，给孩子适时创造课外探索的空间和机会，有利于培养学生的探索精神与实践能力；三方面培养学生善于用数学的眼睛观察周围的现实社会，用数学的头脑思考身边的社会现象，用数学的思想方法解决生活中的实际问题，逐步增强学生的数学应用意识和运用知识方法解决实际问题的能力。】
四、全课总结，提炼升华。
引导学生从基础知识地学习、方法策略地获得，解题经验地积累等方面谈本节课的收获和体会。
【设计意图：综上可知，数学学习的过程既是解决问题的过程，也是建立数学模型的过程。同时是把数学学习的内容放在现实有趣的问题情景里，引导学生亲身经历“问题情景——建立模型——解释、应用和拓展”的过程，经历“提出问题——分析问题——解决问题”的过程，经历“整理数学信息——分析数量关系——列式计算求解”的过程，经历“来源于生活——提升为数学——应用于实际”的过程。其教学过程可以用以下框图来表示：

在这样的学习过程中，学生运用了观察与操作、分析与对比、抽象与概括等思维方式，亲身经历了将现实问题抽象为数学问题，生活原型转化为数学模型的过程，积累了将现实问题“数学化”的经验，感受到数学模型的思想、方法及其价值，发展了抽象思维能力和符号感，提高了学生的数学应用意识和应用数学解决实际问题的能力。】

我的更多文章

下载客户端阅读体验更佳

APP专享