7道经典例题教你如何利用均值不等式求最值
2012-04-12 17:55阅读：
7道经典例题教你如何利用均值不等式求最值
均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。
1.
凑系数
例1
当 时，求
的最大值。
利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题是积的形式，但其和不是定值。注意到
为定值，故需将“x”项凑上一个系数即可。
解：由 ，知 ，当且仅当
时取等号。其最大值是8。
点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2.
凑项
例2
求 的最值。
分析：由题意知 ，首先要调整符号，而
不是定值，需对 进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式。
解：∵ ，
∴ ，即
。
，当且仅当 ，即
时等号成立。
∴函数 有最大值
。
3.
分离
例3
经过长期观测可知，在交通繁忙的时段内，某路段汽车的车流量
（千辆/小时）与
汽车的平均速度
（千米/小时）之间的函数关系式为 。
在该时段内，当汽车的平均速率
为多大时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）
分析：只要把分子上的变量分离出来，转化到分母上就可以用均值不等式求解。
解：依题意得：
。
当且仅当 ，即
时，上式等号成立。
∴当 时，
（千辆/小时）。
4.
平方
例4
求函数 的最大值。
分析：注意到 与
的和为定值，只要对解析式两边取平方，即可用均值不等式求解。
解： 。
当且仅当 ，即 时取等号。
又 ，可知 ，故
。
5.
统一
例5
已知正数 ，
满足 ，求 的最大值。
分析：把所求式的变量x都移到根号里，同时凑系数满足已知条件使和为常数，用均值不等式求积的最大值。
解：∵ ，
∴ 。
∴ 。
当且仅当 且
时等号成立，又因 ， 为正值，可解得
， 时等号成立。故 有最大值为
。
6.
代换
例6
已知正数 、
满足 ，求 的最小值。
分析：将 看作
，1用已知条件整体代换，可用均值不等式求解。
解： 。
由题意知，当且仅当 且
时等号成立，又因 、 为正数，解得
， ，故
最小值是18。
7.
构造
例7
已知 ，求
的最小值。
分析：注意到所求式子的分母满足
，将其整体代入所求式子，即可用均值不等式求解。
解：∵ ，
∴ 。
∵ ，
∴
当且仅当 ，即
时等号成立。
故
的最小值为25。
这7道例题包含了均值不等式所有类型，如果同学们能熟练掌握，均值不等式问题将不再是难题。
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