2017年2月的一个关于小学奥数竞赛（上海）的讲座

2017-06-20 17:20阅读：

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首先说一下奥数，它其实跟我们小学、初中、高中课内知识体系，是不一样的。它虽然是数学，但它是数学的一个变种，是一个很特殊的东西。我这里给大家画一张图，这里方框部分代表课内知识，从上到下，蓝色方块是小学知识，深紫色方块代表初中知识，咖啡色的代表高中知识。大家可以看到，竞赛知识，有一部分来自小学，初中甚至高中课内知识，另有一部分，在课内从来没碰到过。有些家长看了小学奥数题目，觉得自己好像从来没学过数学一样。这个大家不要奇怪，这是因为奥数它的数学体系是不一样的。

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怎样应对奥数？那么我的建议就是，先把数学的知识体系，来龙去脉理解。理解以后再去从竞赛考试中锻炼，这样才能提高能力，积累经验。那么里面的知识点大概有怎样的框架呢，我是有一个大纲的。大框架如图：

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我的建议，幼儿园的重点不是学什么思维，而是尽早地过掉计算关。大家要清楚地知道，这些幼儿园的思维，完全是没有用的，根本不用花这个时间，先把计算关给过掉。计算关包括：大数的加减乘除四则运算，大数就是三位、四位、五位甚至以上的数，他们的加减乘除的四则运算。如果年龄大一点的话，就是小数、分数这些计算要过关。然后开始系统地学数学。
整个框架已经有了，我是引入了负数的概念，实数集的概念。再讲到变量，表达式，方程和方程组。有人说方程是初中的知识，根据我的研究，小学绝大部分应用题都能用方程来解决，这样省去了时间，不要去学各种套路。
然后讲不定方程，不等式，引入数论中的奇偶性，质数合数，倍数因数，整除同余，数论和代数方程结合起来讲，这是个比较理想的切入点。再讲一些课堂里不讲的图论，图论到大学里有一门课叫离散数学，也是会学的，但是小学、中学里是不会学的，但是竞赛里会有。再比如容斥原理，其实是集合论里上的小定理，在奥数竞赛里用得比较多。容斥、抽屉、逻辑也是经常会考的，逻辑也是大学离散数学的一个分支，里面很多有用的定理，比如迪摩根定理一般学习是不会学到的。在学逻辑的时候，可以引进等价命题反证法，这些都是和逻辑有关系的，这些在小奥机构里没有讲到，但是要学透的话，这些都是要讲的，包括几何的证明都是要讲的，全等相似，如果没有这个，外面的蝴蝶、沙漏、鸟头，都是空中楼阁。不知道怎么证明的话，就不知道来龙去脉。
最后，提早引入一些常用的定理，比如勾股定理，这个在几年之前，小学是不讲的。但是后来中环有了两道勾股定律的题，之后它就进入考试的范围之内了。后面一些可以不学，但是学了以后，你会发现很多题目其实有很简洁的做法，比如海伦公式和正弦余弦定理应该要知道一下，然后鸟头模型就很容易理解。如果你会梅涅劳斯定理呢，燕尾定理就可以不用了。塞瓦定理，面积割补，都是竞赛里经常碰到的，但是平时也不太教的。计数、排列组合、加成原理和递归方法，都需要专门去讲，这些原来都是在高中部分讲的，但是现在也在小学奥数竞赛的范围里边。包括高中不常考的标数法、倒推法，但是在竞赛里面却考得很多。这些就是竞赛和平时课内学习不一样的地方。外面行程问题考的很多，但是对我来说不是关键，因为变量之间的等量关系能够列出来，那么行程问题根本就不用花太大力气。

学会了这个知识体系后，很多人说要去刷题，觉得刷题可以提高效率应付考试。但是我没有让小孩刷很多题，如果刷的话，就用历届真题给他锻炼，再加上我自己也编一些题目，质量提高了，刷题数量相对就可以减少。

那么合理的规划，是怎样的呢？用1、2年的时间把奥数需要的基础知识掌握，然后再开始实战训练，用四大杯赛的真题。用1年的时间，每周刷一套卷子，坚持1到2年的时间，那么既学到了知识，又得到了运用。目标就是到4年级的时候，拿到一些杯赛的奖项，对今后的中学学习来说，也是很有帮助了。大家看到很多内容要讲的，这些其实已经是很精华很集中的了（机构其实要讲5年）。

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我们介绍一个思路，所谓二八法则，经济学家巴雷多说的，社会上80%的人只拥有社会20%的财富，80%的财富在那些20%的人手里。听上去有点不平衡，但是很多地方都是有这个二八法则。比如说学习的方法上，在奥数获奖现状上，前20%的人包揽了80%的奖项，说得激烈一点，更可能是前15%的人获得95%的奖项也可能。奥数的学习方法也是这样，用20%的精力掌握80%的量，这个才是正确的方法，就是提高效率，而不是拼血。拼血是一件很无奈的事情。而我们现在80%的人在干什么事情呢，做跟大家差不多的事情。你看论坛上的帖子都是这样子：一个是跟什么机构，问的是你在哪个机构什么班。第二个问的是，你在做哪些题目，做的是哪本书的题目。80%的人学奥数都是用这个方法学的。这个是没有办法的事情，因为奥数的题目分布非常广，一个机构的教法，不能覆盖多种题型和知识点，很多人就上三个奥数班，四个奥数班，天天上课，天天回来还得刷题，做不同的习题书，把相关的书都做一遍，今后考试遇到类似的题，你就会做了。但实际上这是不对的，因为你是一个学生啊，你不是一个出题的老师，也不是专家。这么多书，应该是我这样一个给组委会供题老师做研究用的，我把这些题做一做，这个才是可以的，家长和学生都不应该做这个事情。有人说，那我去什么机构的金牌班就可以了，那么问题是同一本书，给不同的老师来上，效果也是不一样的。你研究这种班有什么意义呢，这个差异很多，没有意义去研究。

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奥数机构有几个常见的弊病。这些我们家长应该要知道的，它是用题目类型来进行分类，进行上课的。比如这节课讲“牛吃草”，其实就是牛顿很早之前发明的应用题，这一类型的都叫“牛吃草”：草原上的草不断地长，牛在不断地吃，草长得慢，牛吃得快，最终草全部被吃光。但是几堂课讲这个东西，就是不科学，因为这本身就是搭个简单的模型，用几个变量排一个式子就能解的事情，这个不值得花几堂课或者专门来讲这个事情。流水行船，火车过桥，很多书上都是这样讲的，这个专门用几堂课来讲，就是不合理。在我看来就是含有变量的应用题，你方程懂了，火车过桥基本原理掌握了，都可以轻松地解决，不需要花那么多的时间去学。

还有个问题，很多机构在1、2年级代数体系中，没有引入变量系统，代数表达式和方程，就是没有一个趁手的工具用来解题。他们用什么方法来解题呢，教你一些公式，这些公式今后可能不会用到，和差倍公式啊，盈亏公式啊，或者画个线段图。画线段图不是不好，问题到后期效率很低，很复杂的问题画个线段图就不能解决了。

还有一个比较严重的问题，因为学数学要系统学，如果几何从来不讲定理和证明，这个事情是不对的，因为平面几何的精华所在就是严谨的逻辑系统，你没有推理，没有假设，没有分析和来龙去脉，就直接给你讲一个定理，也不证明，这个等于没有学几何，这个根本没有起到学习数学，锻炼思维的作用，这点问题很大。但是所有小奥机构都是这样在教。

还有一点，就是为做题而做题，原因就是为了竞赛把题做对，以做题为纲，不解释为什么要这样做，这个方法背后的道理是什么，题目本质是什么它没有说，还有数学问题的解决和描述，不规范。讲容斥原理，不讲集合的并集交集，就直接讲容斥原理，它讲不清楚。包括不定方程，我看过所有的机构不定方程的章节，基本上没有一个机构是讲清楚特解和通解当中的关系的，这些是数学当中一定要讲清楚的东西，也没有讲清楚。导致小朋友学的东西不全，或者学不正规的版本，造成对数学的把握不扎实，这些问题都是存在。

更有问题的是，几个机构的教材看下来，大部分都是大同小异的，相互抄袭的，没有原创的，或者创立前后一体的一个系统，原创性和启发性很差。而且机构整个时间拖得太长，从幼儿园就开始上，一直上到五年级，太长了，而且学的东西对将来初中、高中有没有帮助呢？可以说没有非常大的帮助。它教你的东西，都是校数外面的，不是用校数里面可重用的东西给你上，到了初中很多方法要重新来过，包括知识体系要重新学一遍，这个是很不划算的一件事，系统性就没有了。

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怎么学，我给大家一个建议，重要性原则。

先学对将来有帮助的东西。我总结出来，一个是代数体系，一个是几何，还有一个方法论，就是为什么要这样想。这三个东西很重要。

还有一个推导理解的原则，不能去死记公式，必须知道公式的来历，才能知道什么场合去用。

多思考多问为什么，想通是非常关键的。并不是会用公式去解题就行，主要把本质的东西想明白，这是最关键的。在理解这些知识体系的基础上，再去应用。用什么来练，不要用刷题书，直接做历届真题。并且用你学过的这套知识体系来做，这是我的经验。

还有一个经验就是，一题多解，尽量多挖掘不同的解法，如果错了，要搞清楚错在哪里，要能够举一反三，下次不能在同一个地方跌倒。

考试在做很多事情的时候，不能面面俱到，要抓住最重要的，做对基础题。提高熟练程度和正确率，包括考试技巧。

中等题拼一拼，难题直接放弃，不要花太多的时间在上面。但是平时遇到难题的时候，要好好思考自己想通，最重要的要形成自己的解题体系，你的知识体系是什么东西，不是别人给你的，是带有你自己思想的、你理解的一个体系。

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讲规划，就是如果要学，怎么学。第一个要提前学，第二个要系统学，对于老师来说，还要启发你学。

什么是提前学，就是最晚2年级把加减乘除搞定，甚至小学之前搞定，这个很重要。然后按照我写的奥数体系，用两年的时间把应付小奥的知识体系全部学完，2年实际是比较宽裕的，一个周期半年多，你可以学上几个周期了。同时真题实战解析，也是我写的一门课，用1到2年把历届真题（前5年到前10年的题）全部做一遍，把学到的知识用到题目当中去。

然后就看你的选择了。如果你到四年级的时候，已经有了不少证书，或者你根本不打算拼奥数证书，你在4、5年级就不该把小学奥数当作主要放精力的对象，应该学初中和高中的内容。用1、2年时间把初中的基础甚至把提高部分也完成。如果你能够做到这点的话，差不多你的提前量会比人家早3到4年，这样的话胜率会比较大一点。

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参加奥数竞赛的意义是什么？在我看来，首先是用于检验你平时所学的数学知识，能不能够掌握，能不能够运用到题目当中去，检验是最重要的一个意义。第二个意义，我们参加全市级别的竞赛呢，可以看到自己在全市同年级学生中的排名。一般来说一个杯赛获奖的大概就是几百个人，全市参加杯赛的人有上千，甚至上万，那么自己就要知道处于前百分之几？大概可以估算一下。在将来择校的时候，如果你非常靠前的，你可以考虑比较好的学校。如果是中等的，或者只是入围不能拿奖的，那么就要看是不是降一等到二流生源的中学去发展，这个是作为衡量自己的一个标准。更重要的是，我希望数学能成为孩子的一个兴趣爱好之一，就好比你让他下围棋，让他练钢琴，把课外数学当作兴趣爱好更合适，而不是作为一个负担。最后在小升初的时候制作简历，民办初中还是通过种种渠道找一些比较好的生源，这个简历做上去，肯定是有用的。这个四点就是参加小学奥数的意义。
小学奥数竞赛在上海有哪些？这个大家要扫盲。一个四大杯赛：小机灵，中环，亚太，走美。但是今年好像是禁得比较厉害，出了点变化。这是第一军团，是全市评奖，难度大家都一样，虽然里面有黑幕，但是相对来说，比较有参考价值的。还有一些比较小众的：日奥，华杯，春雷，数学大王、全小数，希望等等，含金量我是从高到低写的，象日奥这种比赛虽然参加的人少，但他的难度也是挺大的，水分也不是很多，这个证书在夏天考的，很多功利的人是不考的，很多是喜欢数学才去考的。华杯是全国的竞赛，在上海推广不力，也没有办得很好。春雷、数学大王难度不算很大，对数学水平本来不是很高的小朋友去考考还是不错的。后面的含金量就低了，像全小数，希望杯，可能之前问题出得比较多，名声也不是很好，但是有总比没有好。亚洲的AIMO，国际中学生数学能力测评IMAS，还有一些杯赛，比如AMC8，AMC10，是四季引入的一些竞赛。后面三个AMC8，AMC10和千帆杯，是最公正的竞赛，不能说是考的人多，但是比前面那些都要公正。

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小学数学竞赛的周期，四大杯赛都有初赛和复赛，每年暑假到9月份陆陆续续开始报名，各个机构都可以报名，11月12月就开始比赛，这是初赛。第二年的2月3月是决赛，一般都是放在双休日考。一般是小机灵最先，然后是中环，再是亚太，再是走美，小中太走。AMC8的报名是每年的9月底10月初开始，11月份考试。AMC10报名在10月、１１月，考完AMC8的时候开始报名，第二年2月份考试。这2个在非双休日考试，和我们的杯赛是错开的。千帆杯一年一次，今年是第一次

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