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如何求复数模的最值?
徐 辉
例：已知，z∈C且|z|=1，求μ=|z+2+2i|的最大值和最小值。
解法一（代数法——复数问题实数化）
依题意，令z=a+bi（a，b∈R），其中a2+b2=1，
则μ2=|(a+2)+(b+2)i|2=(a+2
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例：已知，z∈C且|z|=1，求μ=|z+2+2i|的最大值和最小值。
解法一（代数法——复数问题实数化）
依题意，令z=a+bi（a，b∈R），其中a2+b2=1，
则μ2=|(a+2)+(b+2)i|2=(a+2
)2+(b+2)2=a2+b2+8+4(a+b)=9+4(a+b),
但2ab≤a2+b2=1
所以 (a+b)2= a2+b2+2ab≤2,
≤a+b≤
,
故μ2max=9+4
，μ2min=9-4
，
从而μmax=2
+1，μmin=2 
-1.
解法二（三角法——利用复数的三角形式）
依题意，令z=cosα+isinα，
则μ2=|(cosα+2)+(sinα+2)i|2
=(cosα+2)2+(sinα+2)2
=cos2α+sin2α+4(cosα+sinα)+8
=9+4
sin(α+φ)
故μ2max=9+4
，μ2min=9-4
，
从而μmax=2
+1，μmin=2 
-1.
解法三（几何法——利用模的几何意义）
由|z|=1知复数z所对应的点Z在以原点为圆心、1长为半径的圆上，μ=|z+2+2i|=|z-（-2-2i）|
在复平面内表示定点R（-2，-2）到点Z的距离，由右图很容易看出
μmax=|PR|=|RO|+1=2
+1
μmin=|QR|=|RO|-1=2
-1
解法四（绝对值不等式法——利用不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|）
μ=|z+2+2i|=|z+(2+2i)| ≤|z|+|2+2i|= 2
+1
又μ=|z+2+2i|=|z+(2+2i)|≥||z|-|2+2i||=2
-1
故μmax=|PR|=|RO|+1=2
+1，
μmin=|QR|=|RO|-1=2
-1
解法五（模平方法——利用模的性质|z|2=
）
μ2=（z+2+2i）（
）
=
，
由
知 
故μ2==9+
，
依题意，令
，其中 
则μ2=9+4x+4y=9+4（x+y），
由2xy≤
，
得
≤2，
-
≤x+y≤
故μ2max=9+4
，μ2min=9-4
，
从而μmax=2
+1，μmin=2 
-1.
由以上诸法我们可以看到，对于此类题目，三角法、几何法与绝对值不等式法都是对之进行求解的常用方法，但代数法的适用范围往往更为广泛，是解决复数问题更为一般的方法，希望同学们能够具体题目具体对待，寻找最佳的解题方法，以期正确、快速、简洁地对问题加以解答。
但2ab≤a2+b2=1
所以 (a+b)2= a2+b2+2ab≤2,
故μ2max=9+4
从而μmax=2
解法二（三角法——利用复数的三角形式）
依题意，令z=cosα+isinα，
则μ2=|(cosα+2)+(sinα+2)i|2
=(cosα+2)2+(sinα+2)2
=cos2α+sin2α+4(cosα+sinα)+8
=9+4
故μ2max=9+4
从而μmax=2
解法三（几何法——利用模的几何意义）
μmax=|PR|=|RO|+1=2
μmin=|QR|=|RO|-1=2
解法四（绝对值不等式法——利用不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|）
μ=|z+2+2i|=|z+(2+2i)| ≤|z|+|2+2i|= 2
又μ=|z+2+2i|=|z+(2+2i)|≥||z|-|2+2i||=2
故μmax=|PR|=|RO|+1=2
μmin=|QR|=|RO|-1=2
解法五（模平方法——利用模的性质|z|2=
μ2=（z+2+2i）（
=
由
故μ2==9+
依题意，令
则μ2=9+4x+4y=9+4（x+y），
由2xy≤
得
-
故μ2max=9+4
从而μmax=2
由以上诸法我们可以看到，对于此类题目，三角法、几何法与绝对值不等式法都是对之进行求解的常用方法，但代数法的适用范围往往更为广泛，是解决复数问题更为一般的方法，希望同学们能够具体题目具体对待，寻找最佳的解题方法，以期正确、快速、简洁地对问题加以解答。