| 聪明的光——“最快到达的原理”（费马原理） 捷径 我们都知道，光在同一种介质里的传播是依直线进行的，也就是说是依最近的路径进行的。但是，当光从一点射出不是直接射到另一点，而是经过镜面的反射射到另一点的时候，光也仍旧是依最短的路径进行的。 让我们跟着光的路径看去。假设图93上A点表示光源，MN线表示镜面，ABC线表示光从蜡烛到人的眼睛C的路径。直线KB跟MN垂直。 根据光学的定律，反射角2等于入射角1。知道了这一点，就很容易证明从A点到镜面再到C点的所有可能走的路线里，ABC是最短的一条。这我们可以把光线的路径ABC跟另外一条路径比如ADC来比较一下。从A点向MN作一垂线AE，把它延长到跟CB线的延长线相交于 F。然后把F、D两点用直线连接起来。首先让我们证明三角形ABE |
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和 FBE全等。这两个三角形都是直角三角形，而且有公共的直角边EB；此外，EFB和EAB两角相等，因为它们分别跟角2和角1相等；这样就证明了两个三角形ABE和FBE全等。于是得到AB=FB，AE=FE。现在再来看两个直角三角形ADE和FDE，它们有公共的直角边ED，又上面已经证明AE=FE，所以两个三角形ADE和FDE也全等。因此，AD和 FD也自然相等。
这样一来，我们可以把路线ABC用跟它相等的路线FBC来代替（因为AB=FB），把路线ADC用路线FDC来代替。把这两条路线 FBC跟FDC比较，可见直线 FBC要比折线FDC短。因此，路线 ABC要比ADC短，而这正是我们需要证明的！
无论D点在什么地方，只要反射角等于入射角，路线ABC总比路线ADC短。这样，光线在光源、镜子和人的眼睛之间进行，果然是选择所有可能的路线里最短的一条。这一点，还在第二世纪时候就由希腊的机械师和数学家亚历山大城的希罗指出了。
乌鸦的飞行路线
学会了在上述一类情况下选择最短的路线，你就可以用来解答一些要动脑筋的问题。下面是这类题目里的一个。
在一株树上歇着一只乌鸦，地上撒着许多谷粒。乌鸦从树上飞到地上，衔了一粒谷粒，飞到对面的栅栏上。问：乌鸦应当在什么地方衔取谷粒，才能够使它飞最短的路？
这个题目跟方才那一个完全相象。因此不难立刻得出正确的答案来：这只乌鸦应当模仿光线，也就是说，它应当使角1等于角2。我们前面已经看到，这样的路线是最短的。
光为什么和怎样折射？
光从一种介质进入到另外一种介质的时候，它的进路会曲折，这一点有许多人认为是大自然在耍脾气。真的，光在进到新的介质以后，为什么不保持原来的方向前进，却选择了屈折的路径呢？关于这件事情，如果用军队在容易走和不容易走的地面交界的地方行进的情形来做比喻，就会完全明白了。下面是前一世纪的天文学家和物理学家赫歇耳关于这个问题所说的话：
请设想有一队兵士正在行进，那里的地面有一段是平坦容易走的，有一段是高低不平不容易走，因此走起来就不可能太快的。两段地面的分界线，恰好是一条直线。现在，再设想这队兵士的队伍正面跟这条分界线成某一个角度，因此同一横排的兵士到达这条直线不会在同一时间，而是有迟早的不同。每个兵士一跨过分界线走上不平的地带，就不可能走得象以前那么快，因此，也就不可能再跟那些还没有跨过分界线的同一排兵士保持在一条直线上前进，而慢慢的落后了。这时侯假如兵士不走乱队伍，仍旧依着队形前进，那跨过了分界线的部分不可避免地要落到其余部分的后面，因此在跟分界线相交的点上曲折成一个钝角。又因为每个兵士一定要合着节拍踏着步子前进，也不能够抢先，每个兵士就自然会依着跟新的队伍的正面成直角的方向前进，因此每个兵士越过分界线以后所走的路径，第一，会跟新的队伍正面相垂直，第二，路程的长短和在平坦地面上在同一时间里面能够走的路程长短的比，恰好跟新的行进速度和旧的行进速度的比相等。
我们不难应用手头现成的东西，在桌子上做一个小实验。把桌面的一半用台布盖好，然后，使桌子略略倾斜，把一对装牢在一根轴上的小轮子（例如可以从损坏了的玩具汽车上拆下来）放在高的一头让它滚下去。假如轮子滚动的方向跟台布的边恰好成直角的话，那么它滚动的路径是不会发生屈拆的。这表示了光学里的一条定律，就是垂直射向不同介质分界面的光线，是不发生屈折的。但是，如果轮子的滚动方向跟台布的边缘成某一个角度的偏斜，轮子滚动的路径就要在这个边缘上发生屈折，也就是说在行进速度不同的介质的边缘上发生屈折。这里我们不难发现，当轮子从滚动速度比较大的那一部分桌面（没有桌布的部分）滚到滚动速度比较小的那一部分桌面（有桌布的部分）的时候，它的路径的方向是折近界线的垂线或者所谓“法线”的。在相反的情形，就要折离这法线。
从这里我们可以顺便提出重要的一点，就是光的折射是在两种介质里光的行进速度不同这一个基础上面产生的。这速度上的差别越大，那么折射的程度也越大；表示光的折射程度的所谓“折射率”，就是
这里还可以看到光的传播的另一个特性。如果说光线反射的时候是依最短的路径行进的，那么在折射的时候是取最快的路径的：除了这一条折射路线之外，没有一个别的方向可能使光线这么快到达它的“目的地”的。
什么时候走长的路比短的路更快？
那么，难道说走折曲的路径比走直线能够更快地到达目的地吗？是的，如果全程各段的行进速度不一样，那情形的确是这样。
举例来说，假定有一个人住在两个火车站之间，而离一个火车站很近。他想尽快走到比较远的那个车站上去，他会骑马向反方向走到比较近的车站，在那里搭上火车到他的目的地去。从他的村庄到他的目的地，如果一直骑马前去，走的路会近一些，但是他宁愿骑马搭火车走一段比较长的路，原因是这样走会比较快到达目的地。在这里，走长的路就比走短的路更快。
现在不妨再花一分钟时间看一看另外一个例子。一位骑马的通讯员，要从A点把一份报告送到C点的司令官那里。在他和司令官帐幕之间隔着一片沙地和一片大草地，沙地和草地的分界线是一条直线EF。马在沙地里走是很困难的，这儿的速度只等于在草地上速度的一半。问：为了尽快把报告送到，这位骑马的通讯员应该选择怎么样的路线？
初看最快的路径自然应当是从A到C的直线。但这是完全错误的，而且我也不相信会有走这条路径的通讯员。沙地上难走他是明白的，这使他正确地考虑到难走的沙路应该越短越好，就是越过这沙地的路线应该越斜得少越好；当然，这样做会加长了越过草地上的路；但是在草地上可以走得比较快，速度等于沙地的两倍，因此路长一些也还是有利的，使得全程可以在较短时间里走完。换句话说，他走的路线应该在沙地和草地的分界线上拆曲，使草原上所走的路线跟分界线的垂线所成的角，比沙地上所走的路线跟这垂线所成的角大。
懂几何学的人，可以用勾股弦定理算出直线AC果然不是最快的路线，如果照我们这里图上所画的尺寸来说，假定我们沿AEC折线行进的话，可以更快到达目的地。
图102上注明，沙地阔2公里，草地阔3公里，BC长7公里。于是按照勾股弦定理，AC的全长就是
是等于3.44公里。由于沙地上行进速度只等于草地上的一半，3.44公里的沙路就得花上草地上走6.88公里的时间。因此，走完全长8.60公里的AC直线的路程所要花的时间，等于在草地上走12.04公里所花的时间。
现在我们给折线路程AEC也来做一次同样的计算。折线的AE部分是2公里，所花的时间等于在草地上走4公里的时间；EC部分
的时间相当于在草地上走4+7.61=11.61公里。
照这样说，看起来比较“短”的直路，实际上相当于在草地上走12.04公里，而比较“长”的折线路却一共相当于在草地上走11.61公里。你看，比较“长”的路竟要比那比较“短”的路近12.04－11.61=0.43公里，就是大约近半公里！我们这里还没有指出最快的路线。理论告诉我们，最快的路线应该是（这儿得找三角学来帮忙了）使b角的正弦跟a角的正弦间的比（sinb：sina）等于草地上速度踉沙地上速度间的比，就是2∶1。换句话说，要选最快的路线，一定要使sinb等于sina的两倍。这样跨过分界线的M点，应该离E一公里。
那时候
sinb和sina的比是：
就是恰好等于两个速度的比。
那么，这全部路程换算做在草地上走的路程，等于多长呢？试演算一
6.70公里。全程长4.47＋6.70=11.17公里，就是要比直线路程短0.87公里，因为我们已经知道那直线路程的长度是相当于草地上12.04公里的。
这儿你可以看见，在本题所说的条件下，把行进路线屈折是比依直线走更有利的。光线就正是选择了这样的捷径，因为光的折射定律就完全适合解答这个题目的一切数学上的要求的：折射角的正弦跟入射角正弦的比，恰好等于光在新的介质里的速度跟它在原来的介质里的速度的比；从另一方面来说，这个比值就是光在这两种介质间的折射率。
把光的反射和折射的定律结合到一起，我们就可以说光线在不管什么情形下都是依最快的路径行进的，这在物理学上就叫“最快到达的原理”（费马原理）。
假如介质不是均匀的，它的折射能力是逐渐改变的，例如在大气里——在这种情形下，仍旧是合于最快到达的原理的。这可以解释从天体来的光线在大气里稍微折射的现象，这种折射天文学家叫“大气折射”。大气的密度是向下层逐渐加大的，在这样的大气里，光线的折射路线是凹向地面的，这样光线在上层空气里走的时间比较久，因为那里它可以走得更快些，而在不容易走快的下层里走的时间比较短；结果它就会比沿直线路径更快地到达目的地。
最快到达的原理（费马原理）不只在光的现象适用，对于声的传播以及一切波动也完全适用，不管波动是属于哪一种类的。
读者一定很想知道，波动的这种特性是怎样解释的。这种特性在最近的物理学理论上，起了很大的作用。因此我把现代物理学家薛定谔对于这一点的解释①介绍在下面。
从方才谈的兵士行进的例子出发，而且假定光线是在密度逐渐改变的介质里行进，现代物理学家说：
假定兵士都握着一根长杆子，使得队伍的正面能够保持整齐。现在司令员下令用全速跑步前进！假如地面的情形是逐渐改变的，比方说，起初队伍的右翼移动得比较快，以后左翼才跟了上去——这样队伍的正面就自然而然会转了过去。这里我们就可以看出，他们所走的路径就不是直线而是曲折了的。至于这条路径在时间上应该是最快到达目的地这一点，那是很明显的，因为每个兵士都是用最大速度在跑的。
天天向上VS
我们都是一朵花，有各自的芬芳。
这样一来，我们可以把路线ABC用跟它相等的路线FBC来代替（因为AB=FB），把路线ADC用路线FDC来代替。把这两条路线 FBC跟FDC比较，可见直线 FBC要比折线FDC短。因此，路线 ABC要比ADC短，而这正是我们需要证明的！
无论D点在什么地方，只要反射角等于入射角，路线ABC总比路线ADC短。这样，光线在光源、镜子和人的眼睛之间进行，果然是选择所有可能的路线里最短的一条。这一点，还在第二世纪时候就由希腊的机械师和数学家亚历山大城的希罗指出了。
乌鸦的飞行路线
学会了在上述一类情况下选择最短的路线，你就可以用来解答一些要动脑筋的问题。下面是这类题目里的一个。
在一株树上歇着一只乌鸦，地上撒着许多谷粒。乌鸦从树上飞到地上，衔了一粒谷粒，飞到对面的栅栏上。问：乌鸦应当在什么地方衔取谷粒，才能够使它飞最短的路？
这个题目跟方才那一个完全相象。因此不难立刻得出正确的答案来：这只乌鸦应当模仿光线，也就是说，它应当使角1等于角2。我们前面已经看到，这样的路线是最短的。
光为什么和怎样折射？
光从一种介质进入到另外一种介质的时候，它的进路会曲折，这一点有许多人认为是大自然在耍脾气。真的，光在进到新的介质以后，为什么不保持原来的方向前进，却选择了屈折的路径呢？关于这件事情，如果用军队在容易走和不容易走的地面交界的地方行进的情形来做比喻，就会完全明白了。下面是前一世纪的天文学家和物理学家赫歇耳关于这个问题所说的话：
请设想有一队兵士正在行进，那里的地面有一段是平坦容易走的，有一段是高低不平不容易走，因此走起来就不可能太快的。两段地面的分界线，恰好是一条直线。现在，再设想这队兵士的队伍正面跟这条分界线成某一个角度，因此同一横排的兵士到达这条直线不会在同一时间，而是有迟早的不同。每个兵士一跨过分界线走上不平的地带，就不可能走得象以前那么快，因此，也就不可能再跟那些还没有跨过分界线的同一排兵士保持在一条直线上前进，而慢慢的落后了。这时侯假如兵士不走乱队伍，仍旧依着队形前进，那跨过了分界线的部分不可避免地要落到其余部分的后面，因此在跟分界线相交的点上曲折成一个钝角。又因为每个兵士一定要合着节拍踏着步子前进，也不能够抢先，每个兵士就自然会依着跟新的队伍的正面成直角的方向前进，因此每个兵士越过分界线以后所走的路径，第一，会跟新的队伍正面相垂直，第二，路程的长短和在平坦地面上在同一时间里面能够走的路程长短的比，恰好跟新的行进速度和旧的行进速度的比相等。
我们不难应用手头现成的东西，在桌子上做一个小实验。把桌面的一半用台布盖好，然后，使桌子略略倾斜，把一对装牢在一根轴上的小轮子（例如可以从损坏了的玩具汽车上拆下来）放在高的一头让它滚下去。假如轮子滚动的方向跟台布的边恰好成直角的话，那么它滚动的路径是不会发生屈拆的。这表示了光学里的一条定律，就是垂直射向不同介质分界面的光线，是不发生屈折的。但是，如果轮子的滚动方向跟台布的边缘成某一个角度的偏斜，轮子滚动的路径就要在这个边缘上发生屈折，也就是说在行进速度不同的介质的边缘上发生屈折。这里我们不难发现，当轮子从滚动速度比较大的那一部分桌面（没有桌布的部分）滚到滚动速度比较小的那一部分桌面（有桌布的部分）的时候，它的路径的方向是折近界线的垂线或者所谓“法线”的。在相反的情形，就要折离这法线。
从这里我们可以顺便提出重要的一点，就是光的折射是在两种介质里光的行进速度不同这一个基础上面产生的。这速度上的差别越大，那么折射的程度也越大；表示光的折射程度的所谓“折射率”，就是
这里还可以看到光的传播的另一个特性。如果说光线反射的时候是依最短的路径行进的，那么在折射的时候是取最快的路径的：除了这一条折射路线之外，没有一个别的方向可能使光线这么快到达它的“目的地”的。
什么时候走长的路比短的路更快？
那么，难道说走折曲的路径比走直线能够更快地到达目的地吗？是的，如果全程各段的行进速度不一样，那情形的确是这样。
举例来说，假定有一个人住在两个火车站之间，而离一个火车站很近。他想尽快走到比较远的那个车站上去，他会骑马向反方向走到比较近的车站，在那里搭上火车到他的目的地去。从他的村庄到他的目的地，如果一直骑马前去，走的路会近一些，但是他宁愿骑马搭火车走一段比较长的路，原因是这样走会比较快到达目的地。在这里，走长的路就比走短的路更快。
现在不妨再花一分钟时间看一看另外一个例子。一位骑马的通讯员，要从A点把一份报告送到C点的司令官那里。在他和司令官帐幕之间隔着一片沙地和一片大草地，沙地和草地的分界线是一条直线EF。马在沙地里走是很困难的，这儿的速度只等于在草地上速度的一半。问：为了尽快把报告送到，这位骑马的通讯员应该选择怎么样的路线？
初看最快的路径自然应当是从A到C的直线。但这是完全错误的，而且我也不相信会有走这条路径的通讯员。沙地上难走他是明白的，这使他正确地考虑到难走的沙路应该越短越好，就是越过这沙地的路线应该越斜得少越好；当然，这样做会加长了越过草地上的路；但是在草地上可以走得比较快，速度等于沙地的两倍，因此路长一些也还是有利的，使得全程可以在较短时间里走完。换句话说，他走的路线应该在沙地和草地的分界线上拆曲，使草原上所走的路线跟分界线的垂线所成的角，比沙地上所走的路线跟这垂线所成的角大。
懂几何学的人，可以用勾股弦定理算出直线AC果然不是最快的路线，如果照我们这里图上所画的尺寸来说，假定我们沿AEC折线行进的话，可以更快到达目的地。
图102上注明，沙地阔2公里，草地阔3公里，BC长7公里。于是按照勾股弦定理，AC的全长就是
是等于3.44公里。由于沙地上行进速度只等于草地上的一半，3.44公里的沙路就得花上草地上走6.88公里的时间。因此，走完全长8.60公里的AC直线的路程所要花的时间，等于在草地上走12.04公里所花的时间。
现在我们给折线路程AEC也来做一次同样的计算。折线的AE部分是2公里，所花的时间等于在草地上走4公里的时间；EC部分
的时间相当于在草地上走4+7.61=11.61公里。
照这样说，看起来比较“短”的直路，实际上相当于在草地上走12.04公里，而比较“长”的折线路却一共相当于在草地上走11.61公里。你看，比较“长”的路竟要比那比较“短”的路近12.04－11.61=0.43公里，就是大约近半公里！我们这里还没有指出最快的路线。理论告诉我们，最快的路线应该是（这儿得找三角学来帮忙了）使b角的正弦跟a角的正弦间的比（sinb：sina）等于草地上速度踉沙地上速度间的比，就是2∶1。换句话说，要选最快的路线，一定要使sinb等于sina的两倍。这样跨过分界线的M点，应该离E一公里。
那时候
sinb和sina的比是：
就是恰好等于两个速度的比。
那么，这全部路程换算做在草地上走的路程，等于多长呢？试演算一
6.70公里。全程长4.47＋6.70=11.17公里，就是要比直线路程短0.87公里，因为我们已经知道那直线路程的长度是相当于草地上12.04公里的。
这儿你可以看见，在本题所说的条件下，把行进路线屈折是比依直线走更有利的。光线就正是选择了这样的捷径，因为光的折射定律就完全适合解答这个题目的一切数学上的要求的：折射角的正弦跟入射角正弦的比，恰好等于光在新的介质里的速度跟它在原来的介质里的速度的比；从另一方面来说，这个比值就是光在这两种介质间的折射率。
把光的反射和折射的定律结合到一起，我们就可以说光线在不管什么情形下都是依最快的路径行进的，这在物理学上就叫“最快到达的原理”（费马原理）。
假如介质不是均匀的，它的折射能力是逐渐改变的，例如在大气里——在这种情形下，仍旧是合于最快到达的原理的。这可以解释从天体来的光线在大气里稍微折射的现象，这种折射天文学家叫“大气折射”。大气的密度是向下层逐渐加大的，在这样的大气里，光线的折射路线是凹向地面的，这样光线在上层空气里走的时间比较久，因为那里它可以走得更快些，而在不容易走快的下层里走的时间比较短；结果它就会比沿直线路径更快地到达目的地。
最快到达的原理（费马原理）不只在光的现象适用，对于声的传播以及一切波动也完全适用，不管波动是属于哪一种类的。
读者一定很想知道，波动的这种特性是怎样解释的。这种特性在最近的物理学理论上，起了很大的作用。因此我把现代物理学家薛定谔对于这一点的解释①介绍在下面。
从方才谈的兵士行进的例子出发，而且假定光线是在密度逐渐改变的介质里行进，现代物理学家说：
假定兵士都握着一根长杆子，使得队伍的正面能够保持整齐。现在司令员下令用全速跑步前进！假如地面的情形是逐渐改变的，比方说，起初队伍的右翼移动得比较快，以后左翼才跟了上去——这样队伍的正面就自然而然会转了过去。这里我们就可以看出，他们所走的路径就不是直线而是曲折了的。至于这条路径在时间上应该是最快到达目的地这一点，那是很明显的，因为每个兵士都是用最大速度在跑的。
天天向上VS
我们都是一朵花，有各自的芬芳。