第三章 离散傅立叶变换(DFT)
2012-06-23 13:12阅读：
写得非常好，想了解傅利叶变换的一定要年看，这是转来的，对理解很重要的图片没有了，请考原文：
http://wlsyzx.yzu.edu.cn/kcwz/szxhcl/kechenneirong/jiaoan/jiaoan3.htm
要点总结：1.两变量：时间和频率
2.三特征：离散、连续和周期
3.两数域：时域和频域
4.时域的特征，对应到频域的另一特征。
5.应用时，是以计算机为本的，所以离散才有意义。
6，离散傅利叶变换，为应用的基础，ＤＦＴ；
对于ＤＦＴ，这两点非常重要：
１.
时域抽样间隔T，频域周期W
s=2p/T，
时域周期T
1，频域抽样间隔W
1=2p/T
1
两个域周期是一样的
2.对于有限长度的离散信号 ，需要做周期延拓，之后和1
一样，做变换。
具体而言，我们把时域周期序列 看作是有限长序列x(n)的周期延拓；同理把频域周期序列
也看作是有限长序列X(k)的周期延拓。这样我们只要把DFS的定义式两边取主值区间，就得到了一个关于有限长序列的时频域对应的变换对。这就是数字信号处理课程里最重要的变换-------离散傅里叶变换(DFT)。
主文：：：：：：：：：
第三章 离散傅立叶变换(DFT)
3．1 引言
有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的'有限长'特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。
(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。)
一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）
设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：
可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。
二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级
数
设f(t)代表一个周期为T
1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为，f(t)和
组成变换对，表示为:
（ ）
注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T表示（采样间隔）。采样脉冲信号的频率为
可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱
连续，周期 （时域周期为T1）
非周期，离散 （离散间隔为W1）
|
三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换
正变换：DTFT[x(n)]=
反变换：DTFT
-1
级数收敛条件为| |=
可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱
离散，非周期 （离散时间间隔为T）
周期，连续 （频域周期为2p=Ws T）
|
四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换
上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。因为从数字计算角度，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换。
时域抽样间隔T，频域周期W
s=2p/T，
时域周期T
1，频域抽样间隔W
1=2p/T
1
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
设 是周期为N的一个周期序列，即 ，r为任意整数。和连续时间周期信号一样，周期序列可用离散傅里叶级数来表示。
离散傅里叶级数（DFS）对：
正变换 =DFS[ ] =
=
反变换 =IDFS[ ]= =
式中， ， 和 均为整数。
观察 = 。 是一个周期序列吗？如是，周期为多少？
= 。
所以。 是一个周期序列，周期为N。
，周期为N
，周期也为N。
观察 = ，与连续时间信号与系统中的傅里叶级数对应，表明将周期序列分解成N个独立谐波分量。第0次谐波序列
，基波序列，…，第k次谐波序列 ，第N-1次谐波序列 。谐波频率 ，k=0，1，2，…，N-1，幅度为
。例如：基波分量的频率为2p/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。
例题： 如图所示，求 的DFS
解： =DFS[ ] =
=
= = = =
= = ，
| |如下图所示。
离散傅立叶变换（DFT）
周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列，这就可以得到
有限长序列的傅里叶变换(DFT)。
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，
正变换 =DFT[ ] =
=
k=0，1，2，…，N-1
（3.1.1）
反变换 =IDFT[ ]= =
n=0，1，2，…，N-1
（3.1.2）
式中 ，N称为DFT变换区间长度，N≥M。
例3．1．1： = R
4(n)，求 的8点和16点DFT。
解：（1）DFT变换区间N=8，则：
= = = =
= ，k=0，1，…，7
（2）DFT变换区间N=16，则：
= =
= ，k=0，1，…，15
DFS与DFT的关系
1、
有限长序列和周期序列的关系
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，以N（N≥M）为周期进行周期延拓得 。 是x(n)的周期延拓。如下图所示：
M=4，N=8，以N=8进行周期延拓。 的周期为8 。
用式子表示：
＝
或 ＝x(n 模 N)＝x((n))
N，(n 模 N)表示n对N取余数
例：设 是以N=8周期对有限长序列x(n)（长度M=4）进行周期延拓得到的。 ＝x(3)， =x(2)。
有限长序列进行周期延拓得到周期序列。
定义：周期序列 中从n=0到N-1的第一个周期为 的主值区间，而主值区间上的序列称为 的主值序列
周期序列的主值序列是有限长序列
利用前面的矩形序列符号R
N(n)
R
N(n)=
1 ，0≤n≤N-1
0 ，其他n
x(n)= R
N(n)
x(n)的周期延拓序列是 ； ＝x((n))
N
的主值序列是x(n)；
x(n)= R
N(n)
同理把频域周期序列 也看作是有限长序列X(k)的周期延拓。 X(k)是 的主值序列
X(k)的周期延拓序列是 ； ＝X((k))
N
的主值序列是X(k)；
X(k)=
R
N(n)
具体而言，我们把时域周期序列
看作是有限长序列x(n)的周期延拓；同理把频域周期序列也看作是有限长序列X(k)的周期延拓。这样我们只要把DFS的定义式两边取主值区间，就得到了一个关于有限长序列的时频域对应的变换对。这就是数字信号处理课程里最重要的变换-------离散傅里叶变换(DFT)。
离散傅立叶级数（DFS）对：
正变换 =DFS[ ] =
=
反变换 =IDFS[ ]= =
式中， ， 和 均为整数。
离散傅里叶变换(DFT)
正变换： ＝DFT[x(n)]= ，0≤k≤N-1
反变换：x(n)=IDFT[ ]= ，0≤n≤N-1
或： ＝ R
N(k)＝ R
N(k)
x(n)=
R
N(n) =
R
N(n)
DFT隐含有周期性。
DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：
＝DFT[x(n)]= ，0≤k≤N-1
比较上面两式可以得到：
＝ | ，0≤k≤N-1
（3.1.3）
或
= | ，0≤k≤N-1
（3.1.4）
（3.1.3）表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。（3.1.4）表明是x(n)的傅立叶变换
在区间[0，2π]上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对在[0，2π]区间上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。例3．1．1中，
= R
4(n)， DFT变换区间长度N分别取8点和16点，
结果不同。下图为R
4(n)的傅立叶变换和R
4(n)的8点、16点 的对应图。
3．2 离散傅立叶变换的性质
一、线性
设x
1(n)、x
2(n)是两个有限长序列，长度分别为N
1，N
2，且y(n)=a
x
1(n)+b
x
2(n)，a，b为常数。N=max[N
1，N
2]。
x
1(n) 有限长序列，长度为N；
x
2(n) 有限长序列，长度为N；
y(n) 有限长序列，长度为N；
x
1(n)的N点DFT为：
X
1(k)=DFT[x
1(n)]=
0≤k≤N-1
x
2(n)的N点DFT为：
X
2(k)=DFT[x
2(n)]=
0≤k≤N-1
y(n)的N点DFT为：
Y(k)=DFT[y(n)] =
= =a X
1(k)+b X
2(k)
0≤k≤N-1
二、循环移位定理
1、
序列的循环移位
设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为
（3.2.2）
（3.2.2）表明先将x(n)以N为周期进行周期延拓得到序列 = x((n))
N，再将 左移得到
，最后取主值区间（n=0到N-1）上的序列值，则得到有限长序列x(n)的循环移位序列 。
过程如下图所示：
2、
时域循环移位定理
设x(n)为有限长序列，长度为N， 为 x(n)的循环移位序列，即 ，则
DFT[ ]=
其中 =DFT[x(n)]，0≤k≤N-1
证明：
=
令n+m=n’，则有
=
=
由于上式中求和项以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区间，则得：
=
=
= ，0≤k≤N-1
3、
频域循环移位定理
如果 =DFT[x(n)]，0≤k≤N-1
=
则：y(n)=IDFT[ ]= x(n)
证明：y(n) =IDFT[ ]=
=
令 = ，则有：
y(n)=
= （ ）
= （ ）
= （ ）
= x(n)
三、循环卷积定理
有限长序列x
1(n)和x
2(n)，长度分别为N
1和N
2，
N=max[N
1，N
2]。
x
1(n)和x
2(n)的N点DFT分别为：
X
1(k)=DFT[x
1(n)]
X
2(k)=DFT[x
2(n)]
如果X(k)= X
1(k) X
2(k)
则：x(n)= IDFT[X(k)]=
循环卷积过程：
循环卷积过程中，要求对循环反转，循环移位，特别是两个长度位N的序列的循环卷积长度仍为N。显然与一般的线性卷积不同，故称为循环卷积。记为：x(n)
=
四、复共轭序列的DFT
设 是 的复共轭序列，长度为N，
已知
＝DFT[ ]，
则
DFT[ ]=
0≤k≤N-1
且
证明：DFT[ ]= R
N(k)
= R
N(k)
= R
N(k)
= R
N(k)
= ，0≤k≤N-1
已知
＝DFT[ ]，
则
DFT[ ]=
证明：
∵ ＝DFT[ ]，即
=IDFT[ ]= =
=
=
=[ ]
=
=IDFT[ ]
即DFT[ ]=
五、DFT的共轭对称性
第二章2.2节中已详细讨论了序列傅立叶变换的对称性，那里的对称性是指关于坐标原点的纵坐标对称性。DFT也有对称性，但由于DFT中讨论的序列及其离散傅立叶变换均为有限长序列，且定义区间为0到N-1，所以这里的对称性是指关于N/2点的对称性。下面讨论DFT的共轭对称性质。
1、
有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
为了区别于序列傅立叶变换中所定义的共轭对称和共轭反对称序列，下面用
和分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列。二者的定义如下：
= ，0≤n≤N-1
=－ ，0≤n≤N-1
(关于N/2点的对称性)
当N 为偶数时，将上式的n换成N/2-n，得到
= ，0≤n≤N/2-1
当N为奇数时，将上式的n换成(N-1)/2-n，得到
=
，0≤n≤(N-1)/2-1
任意有限长序列 可表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和。
= +
0≤n≤N-1
将上式中的n换成N-n，并取复共轭，得到：
= +
= -
∴ = （ + ）
= （ ）
2、
DFT
的共轭对称性
（1）将有限长序列x(n)分成实部与虚部，即：
= +j
