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逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用

2011-06-03 16:48阅读：

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逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用
1. 逾渗理论研究背景
逾渗的概念最早由布罗德本特和哈梅斯里于1957年提出，但对逾渗现象的数学描述却可追溯到1941年，Flory和Stockmaye在研究聚合物凝胶过程时构造了一种网格模型一Bethe网格，在这个模型的基础上，得出了很多关于逾渗的数学结论，如关联维数、标度指数。
逾渗理论从本质上讲是属于概率论的一个分支，逾渗理论是处理强无序和具有随机几何结构系统常用的理论方法之一。逾渗理论处理的是在庞大无序系统中由于相互联结程度的变化所引起的突变效应。
逾渗转变，指的是在庞大无序系统中随着联结程度，或某种密度、占据数、浓度的增加（或减少）到一定程度，系统内突然出现（或消失）某种长程联结性，性质发生突变，我们称发生了逾渗转变，或者说发生了尖锐的相变。正是这种逾渗转变，使之成为描述多种不同现象的一个自然模型，用于阐明相变和临界现象的一些最重要的物理概念。逾渗模型中最基本的模型为键逾渗模型和座逾渗模，对这两种模型通过变化、组合可生成很多更加符合实际的逾渗模型。
因逾渗模型与多孔介质的相似性，可将逾渗理论应用到多孔介质中流体的流动研究，多孔介质中的孔隙和孔道可以根据其半径的大小直接映射到逾渗模型中的“座”和“键’，从而构成一个逾渗模型。另
外，大量实验研究成果也证实了逾渗模型确实可以被应用到对多孔介质的研究上。例如:根据连通性及孔隙团大小的分布函数，可以模拟液氮法测量孔隙孔径分布时吸附—解析曲线的相对滞后现象；多孔断裂结构性质也和逾渗临界点处逾渗团有着类似的性质，逾渗团一旦形成，断裂结构的应力就得到了释放。多孔介质模型最早是由Fatt提出来的，这是一种由不同管径的管子构成的二维格子网络系统，该模型在一定程度上表征了多孔介质的复杂结构，也易于进行理论研究。Torelli根据逾渗理论建立了一种由等径管道构成的网络系统模型，并模拟多孔介质中的扩散问题，Simon和Kezsey利用逾渗网络模型研究了石油开采中的注水采油过程并计算了其效率。sahimi利用逾渗理论及逾渗模型分析了多空介质的扩散现象，建立了多个物理量在逾渗闭值附近的临界关系。其他国内外学者进一步地将逾渗理论应用到多孔介质中的研究中来。
2. 逾渗基本理论
2.1 基本概念
2.1.1 键逾渗，座逾渗
空间任何一种点阵都由点（顶点，键之间的交点）和键（边，联线，两点之间的成对的联结）组成。点阵上的逾渗过程有两种基本类型：键逾渗和座逾渗。两种情况都是从规则的、周期的点阵出发，然后对每一个座或每一条键，无规地指定反映问题统计特征的非几何性的两态性质（是或非、断或通、有或无、联结或不联结等），从而把规则几何结构上的问题转变成随机几何结构的问题。
2.1.2 联键百分率
对于键逾渗过程，每条键或者是联结的，或者是不联结的；联结的百分率为p，不联结的百分率为1-p。应该指出，这儿必须假定系统是完全无序的，意即每条键的联结概率p与其相邻键的状态无关。
对于座逾渗，每条键都是联结的，但“座”具有结构的无规联结性特征∶每一个座或者是联结的（畅通的），或者是不联结的（堵塞的），相应的百分率分别为p和1-p。仍假定，对于每一个座，概率p不受其相邻点的状态的影响。常把“畅通座”和“堵塞座”分别称为“占座”和“空座”，用以表达逾渗过程模拟的现象与浓度或密度的依赖关系。
对于键逾渗，相邻的联键是彼此联结的；同样，对于座逾渗，相邻的占座也是彼此联结的。对座逾渗，若两个占座可以通过由一系列最近邻的占座连成的路径联结起来，则称这两个占座属于同一集团。同样，对键逾渗，若两条键可以通过至少一条由联键连成的路径联结起来，则称这两条联键属于同一集团。
2.1.3 逾渗阈值
逾渗现象最突出的特征是在逾渗阈值处系统的长联结性发生突变。所谓逾渗阈值，指存在一个极端尖锐的临界值 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用，当p减小（或增大）到 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用值时，系统的性质发生突变。这里涉及到一个约定的假定，即二维正方形点阵是无限大的。只有在这一极限情况下，数学上才可能确定联结性阈值。对于“有限大”的系统，所观测到的阈值将是一个包围 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用的，展宽了的数值区间。以后总是假定所讨论的系统是无限大的，即（L/a）→∞，通常a的典型值为原子尺寸，而L则为宏观尺度。
对于正方形点阵键逾渗现象，逾渗阈值为1/2， 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用= 0.5。这是少数几个可以严格求得 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用值的例子之一。另外还有几个二维点阵的逾渗问题的阈值也已严格解出。但对任何三维或更高维点阵的逾渗过程，至今尚无严格解。一维点阵不存在逾渗现象。对一维情形，立即得到 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用=1；意即任何断键都将破坏长程联结性。一维情形（d=1）时无法像d≥2那样“绕过”障碍。
逾渗过程可以看成是某种广义的“流体”流过一种“介质”，介质由许多相互连接的管路组成，其中有些管路的阀门被（无规地）关上了。阀门可以安装在管路中部，形成键逾渗。阀门也可以安装在管路网路的接头处，而不在管路中部，形成座逾渗。还有一种情形是阀门既放在管子中间，也放在接头处，这种逾渗称为座-键逾渗，是“常规”逾渗理论有用的推广。
逾渗阈值处系统的联结性发生突变有两种方式：逐步增大系统的短程联结性和逐步减少系统的短程联结性。换句话说，系统的短程联结性趋向于 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用有两种方式——增大（短程联结性的）浓度或稀释浓度，两种方式等价而不等同。尽管逾渗现象对上述两种“方向”并无偏爱，但是实际上从增大浓度的角度去观察问题更有意义。
2.2 基本函数
2.2.1 集团平均大小sav(p)
对于p<<1的低密度区，几乎所有的占座都是孤立的，亦即单座集团。以p表示任选一座是占座的概率。现在问∶一个给定的占座属于任一个二座集团的概率是多大？对于正方形点阵，每一点有四个近邻，在p<<1的情况下，所求概率为4p，是可忽略的小量。类似地，在小p极限下，对于正方形点阵一个给定的占座属于任一个三座集团的概率为 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用，这个值更小。实际上在低密度时，找到大小为s的集团的概率量级为 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用。因此，在p→0的低密度极限下，集团大小的分布在s=1处形成尖锐的峰值，并随s的增加而指数衰减。
集团大小的分布通常用一离散变量的函数n(s) 来表示，其中s=1，2，3，4，…。一般n(s)按点阵座归一化，即n(s)定义成大小为s的集团数除以系统的总点阵座数（对很大的系统而言）。
当p≈0时，解析地确定n(s) 并不容易（对于正方形点阵上的座逾渗，上面已给出了在p→0时，对s=1，2，3分别有n(s)= p， 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用， 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用，这些值是保留到“p的最低阶”的近似表达式，当p→0的极限下是严格准确的；对于小于0.1的p值也相当精确）。然而，对于许多感兴趣的点阵，只有借助计算机模拟，才可在整个浓度范围得到关于n(s)合理的结果。这里我们暂不讨论随p增加n(s)行为的定量变化，而对在逾渗阈值处n(s)的定性变化感兴趣。
当p增加时，属于s≥2的集团的占据座的比例也增加，这是因为集团延伸的概率变大。因此，集团的平均大小sav(p)也增大。注意到所有大小为s的集团所包含的[已]占座数正比于s﹒n(s)，于是集团的平均大小可表为
逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用 （1）
式中分母的求和值正比于占座总数（实际上，由于n(s)含有比例常数，它是系统总点阵座数的倒数，故分母的和式值等于p），分子是一个加权的和式，其中某一占座的权重为该座所属之集团的大小。
在小p极限下，sav(p)为1，表示在低密度下占优势的是单座集团。随着p的增加，sav(p)也增加。
当p增加到0.5时，sav(p)随p的增加急速增大，有些集团连在一起形成相当大的集团，此时sav(p)的值已远大于20。
当p=0.75时，出现了无穷大集团，集团的平均大小已无意义。
在p=0.59时，逾渗通路开始出现，系统内出现了无穷大集团。p=0.59正是在正方形点阵上座逾渗的临界浓度 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用，或称逾渗阈值。它标志着在这一点，系统的联结性已足够高，形成了无界的，跨越点阵的逾渗集团。
2.2.2 逾渗概率P(p)
逾渗概率P(p)定义为当联键的百分率为p时，任选的一条键是属于无限大集团的联键的概率。
已知当 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用＜ 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用，不存在逾渗通路；当 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用≥ 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用，才出现逾渗通路；从 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用= 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用到 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用=1，逾渗通路不断“丰满”，最后占满整个点阵。因此逾渗概率P(p)在 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用＜ 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时恒等于零；在 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用≥ 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时才不等于零；且随着 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用值增大而增大。当系统的全部键均为联键，则有P(p)=p=1。换一种说法，P(p)代表整个系统中被逾渗通路（无限大集团）所占据的百分比，故称为逾渗概率P(p)。
显然，P(p)曲线与sav(p)曲线大不相同。sav(p)曲线在 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用＜ 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时有意义，而P(p)曲线从p=0直到 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用恒等于零；过 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用后，随p的增加很陡地上升。最后当p趋于1时，P(p)趋于1，即无穷大集团吞并了其它有限集团。
2.2.3 连通率σ(p)
其特征为，对p＜ 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用, σ(p)恒为零；对p＞ 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用，σ(p)随p增加而单调增加。σ(p)可称为系统的连通率，表示系统的某种物理性质，如电导率、渗水率、力学强度等。
细致地观察σ(p)与P(p)两个函数，人们立即注意到，这两个函数在逾渗阈值附近的行为有鲜明的差别。稍高于 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用, P(p)立即很陡地上升。实际上，在阈值点附近它以无穷大的斜率上升（亦即dP/dp可以任意大，只要 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用- 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用选得足够的小）。另一方面，连通率却表现为缓慢地上升：在阈值处的起始斜率为零（当 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用- 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用趋于零时，dσ/dp也趋于零）。

在 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用以上，逾渗概率和连通率之间的显著差别，显示了临界现象的一个方面。临界现象专门研究非常接近临界点的区域内（| 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用- 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用|<<1）系统的行为。临界区的行为由某些普适量所控制，这些量称为临界指数。
首先观察P(p)的性质。在 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用＞ 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用范围内，P(p)的爆炸式的增长反映了当浓度超过 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时，有限大的集团极迅速地连到无穷大集团上去。设想某一有限集团，再加上一条联键就与已形成的逾渗通路连接上。一旦它已连上无穷大集团，它就成为无穷大集团的一部分，因而也对逾渗概率P(p)有贡献。但是，从宏观电流的观点来看，这些新的联键并未增加使电流流过样品的新的平行通路，它们只不过在原来的扩张网络上附加了一些“死胡同”的叉路，它们不会连到边界，即不是出口通路，因而对电导率σ(p)无贡献。刚超过阈值 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时，这种“死胡同”支路在逾渗通路中占绝大多数。只有占极小百分比的支路组成逾渗通路的骨干或“主干”，才对电导率有贡献。这就是刚超过 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时σ(p)增长很慢的原因。随着p的增加，逾渗通路中可参与导电的部分也增加，直到p→1时，全部都有贡献。
2.2.4 平均跨越长度lav(p)
跨越长度定义为集团中的两个座（对键逾渗则为两条键的中心）的最大间距：

逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用 （2）
对给定的p，将特征长度对所有集团取平均，即得平均跨越长度lav(p)。这个量在逾渗现象中所起的作用，与相变中的“关联长度”相似。二者均提供了体系中的颗粒性的长度标尺。这种颗粒性在远离逾渗阈值或相变点时非常精细，而趋于转变点时则急剧地粗化。
对于逾渗理论而言，与lav(p)相应的函数为对联结性函数g(r)。g(r)代表间距为 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用的两点i与j属于同一集团的概率。根据以上讨论，可以立即导出在r→∞时g(r)的渐近式。若占座的浓度小于逾渗阈值 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用，则渐近值g(∞)为零。但若浓度大于 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时，一对相距很大的点可以是彼此联结的，比如它们都属于无穷大集团。由于两个点都必须属于无穷大集团，故当r→∞时，g(r)的极值应当是逾渗概率P(p)的平方，即

逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用 （3）
四个函数可以分成两组。集团平均大小sav(p)与平均跨越长度lav(p)描述低于阈值 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时集团增长的几何特征：低于 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时函数值是有限的，高于 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时函数值为无穷大集团。
逾渗概率P(p)和连通率σ(p)则描述跨越阈值 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时系统性质的突变：低于 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时函数值等于零，高于 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时函数值为有限值。
可以认为，sav(p)与lav(p)的主要价值在于提供低于 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用时集团的定域程度。一旦出现逾渗通路后，研究兴趣就集中到逾渗通路上，并转向P(p)和σ(p)，它们描写宏观扩展的（退定域的）集团。

3. 逾渗理论在多孔介质流体流动中的应用
(待续)

4. 结论
(待续)

5. 参考文献
(待续)

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