1.2023年11月17日
2.2023年9月19日
3.2023年10月10日
4.
引导学生仿照增函数的定义，说出减函数的定义，并板书。
(2)如果对于区
新浪博客
1.2023年11月17日
2.2023年9月19日
3.2023年10月10日
4.
引导学生仿照增函数的定义，说出减函数的定义，并板书。
(2)如果对于区
间I上的任意两点x1，x2，当x1
<
x2时，都有f(x1)
如果函数y = f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y = f(x)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间。增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间。
强调说明：
1.
2.
环节三：从数学概念出发解决实际问题
问：你能说出上述情境中的单调增区间和单调减区间吗？
追问：单调区间一定是闭区间吗？
引导学生根据图像观察发现，.单调区间可以是开区间，也可以是闭区间。端点不在定义域内，必须写开区间。根据函数图像求得单调区间的方法叫图像法。
（三）、例题解析
例1
解 (1)由图(1)所示函数图像可知，函数y = f(x)的定义域为R，增区间为(-∞，0]，减区间为[0，+∞)。
(2) 由函数图像(2)可知，函数y = g(x)的定义域为(-∞，0) U (0，+∞)，增区间为(-∞，0)和(0，+∞)。
教师追问：图2的增区间能写成(-∞，0) U (0，+∞) 吗？
注意：调区间必须在这个区间内连续单调递增或者连续单调递减。如果不连续，就把单调区间各自分开写，用逗号隔开或者用“和”连起来。
巩固训练：完成教材P95 第2题![2023学年第一学期组内高级教师开课说课]( "2023学年第一学期组内高级教师开课说课")
如图所示，试写出函数的单调区间，并说明在每一单调区间上函数的单调性。
例2
解 在(-∞，+∞)上任取x1，x2，且x1 < x2，则
f(x1) - f(x2) = (2x1
=2x1- 2x2
= 2(x1－x2)
因为x1－x2<</span>0，所以f(x1)－f(x2) <</span>0，即 f(x1)<</span>f(x2)。
所以函数f(x) = 2x + 7在(-∞ ，+∞)上是增函数。
教师按照定义，引导学生依据定义，利用作差比较法，证明函数单调性。
归纳利用定义证明函数单调性的一般步骤：
（1）取值：任取![2023学年第一学期组内高级教师开课说课]( "2023学年第一学期组内高级教师开课说课")
，且x1
< x2
（2）作差：f(x1)－f(x2)
（3）变形：通常是因式分解和配方
（4）定号：判断差f(x1)－f(x2) 的正负
（5）结论：指出函数f(x)在给定区间上的单调性
练习：讨论函数f(x) = -3x + 5在(-∞，+∞)上的单调性。
学生板演，教师指导，并且再次强化用定义法证明函数单调性的5个步骤。
想一想：由函数f(x) = 2x + 7在(-∞ ，+∞)上是增函数，函数f(x) = -3x + 5在(-∞，+∞)上是减函数，讨论函数f(x) = kx + b在(-∞ ，+∞)的单调性。
小结：
当 k
当 k>0时，f(x) = kx + b在(-∞ ，+∞)上单调递增。
例3![2023学年第一学期组内高级教师开课说课]( "2023学年第一学期组内高级教师开课说课")
在区间 ![2023学年第一学期组内高级教师开课说课]( "2023学年第一学期组内高级教师开课说课")
上是减函数。
学生板演证明，教师分析讲解。
证明：在![2023学年第一学期组内高级教师开课说课]( "2023学年第一学期组内高级教师开课说课")
上任取x1，x2，且x1
< x2，则
由x2
所以函数![2023学年第一学期组内高级教师开课说课]( "2023学年第一学期组内高级教师开课说课")
在区间 ![2023学年第一学期组内高级教师开课说课]( "2023学年第一学期组内高级教师开课说课")
上是减函数。
归纳小结：如果要证明函数在某个区间上的单调性，我们还需要从函数解析式出发。根据函数的解析式，利用作差比较f(x1)和f(x2)的大小，就可以判断或证明函数的单调性；无需证明的时候，从图像上，我们能轻而易举地看出函数的单调区间，分析其单调性。因此，数形结合是解决函数单调性问题的一种常见方法。
（四）、课堂小结
本节课主要学习了以下内容
1.单调函数的图像特征
2.函数单调性的定义
3.判断函数单调性的方法：图像法、定义法
4.证明函数单调性的步骤
小结：无论是我们前面提到的艾宾浩斯遗忘曲线，还是气温随着时间的变化而变化的函数曲线，一旦我们知道了它们的变化趋势，便可以合理制定学习策略和生活计划。所以对函数变化趋势进行研究是非常有必要的。
（二）任意角教学设计：
如果函数y = f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y = f(x)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间。增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间。
强调说明：
1.
2.
环节三：从数学概念出发解决实际问题
问：你能说出上述情境中的单调增区间和单调减区间吗？
追问：单调区间一定是闭区间吗？
引导学生根据图像观察发现，.单调区间可以是开区间，也可以是闭区间。端点不在定义域内，必须写开区间。根据函数图像求得单调区间的方法叫图像法。
（三）、例题解析
例1
解 (1)由图(1)所示函数图像可知，函数y = f(x)的定义域为R，增区间为(-∞，0]，减区间为[0，+∞)。
(2) 由函数图像(2)可知，函数y = g(x)的定义域为(-∞，0) U (0，+∞)，增区间为(-∞，0)和(0，+∞)。
教师追问：图2的增区间能写成(-∞，0) U (0，+∞) 吗？
注意：调区间必须在这个区间内连续单调递增或者连续单调递减。如果不连续，就把单调区间各自分开写，用逗号隔开或者用“和”连起来。
巩固训练：完成教材P95 第2题
例2
解 在(-∞，+∞)上任取x1，x2，且x1 < x2，则
f(x1) - f(x2) = (2x1
=2x1- 2x2
= 2(x1－x2)
因为x1－x2<</span>0，所以f(x1)－f(x2) <</span>0，即 f(x1)<</span>f(x2)。
所以函数f(x) = 2x + 7在(-∞ ，+∞)上是增函数。
教师按照定义，引导学生依据定义，利用作差比较法，证明函数单调性。
归纳利用定义证明函数单调性的一般步骤：
（1）取值：任取
（2）作差：f(x1)－f(x2)
（3）变形：通常是因式分解和配方
（4）定号：判断差f(x1)－f(x2) 的正负
（5）结论：指出函数f(x)在给定区间上的单调性
练习：讨论函数f(x) = -3x + 5在(-∞，+∞)上的单调性。
学生板演，教师指导，并且再次强化用定义法证明函数单调性的5个步骤。
想一想：由函数f(x) = 2x + 7在(-∞ ，+∞)上是增函数，函数f(x) = -3x + 5在(-∞，+∞)上是减函数，讨论函数f(x) = kx + b在(-∞ ，+∞)的单调性。
小结：
当 k
当 k>0时，f(x) = kx + b在(-∞ ，+∞)上单调递增。
例3
学生板演证明，教师分析讲解。
证明：在
由x2
所以函数
归纳小结：如果要证明函数在某个区间上的单调性，我们还需要从函数解析式出发。根据函数的解析式，利用作差比较f(x1)和f(x2)的大小，就可以判断或证明函数的单调性；无需证明的时候，从图像上，我们能轻而易举地看出函数的单调区间，分析其单调性。因此，数形结合是解决函数单调性问题的一种常见方法。
（四）、课堂小结
本节课主要学习了以下内容
1.单调函数的图像特征
2.函数单调性的定义
3.判断函数单调性的方法：图像法、定义法
4.证明函数单调性的步骤
小结：无论是我们前面提到的艾宾浩斯遗忘曲线，还是气温随着时间的变化而变化的函数曲线，一旦我们知道了它们的变化趋势，便可以合理制定学习策略和生活计划。所以对函数变化趋势进行研究是非常有必要的。
（二）任意角教学设计：
|
《任意角》教学设计 |
||||||
|
一、教学基本信息 |
||||||
| 课题 名称 |
《任意角》 |
授课教师 |
黄丽琴 |
|||
| 授课 班级 |
23级软件与信息服务班 |
授课时数 |
1课时 |
|||
| 授课 时间 |
2023年9月21日 |
授课地点 |
高一（8）班 |
|||
|
二、教学分析 |
||||||
| 教学 内容 |
选自高等教育出版社 出版的“十四五”职业教育国家规划教材《数学》基础模块（上）第四章《三角函数》4.1.1的内容，本节课的学习为以后三角函数的研究打下基础，而且角与人类生活息息相关，密不可分，因此研究角具有非常大的意义。 |
|||||
| 学情 分析 |
1.在初中，学生已经学了0o到360o范围的角以及两种的概念，对本课的学习具有一定的知识基础。 2.软件与信息服务的学生动手能力和软件运用能力比较强。 |
|||||
|
三、教学目标确定 |
||||||
| 教学 目标 |
知识目标： 1. 2. 3. |
|||||
| 能力目标： |
||||||
| 素质目标： 培养学生群体意识和合作精神以及爱国情怀和社会责任感 |
||||||
| 教学 重点 |
理解任意角和象限角。 |
|||||
| 教学 难点 |
理解
|
|||||
|
四、教学过程 |
||||||
| 教学 环节 |
教学 形式 |
教学活动 |
设计意图 |
|||
| 教师 |
学生 |
|||||
| 环节1： 开门见山 回顾旧知 |
学 生 演 示 |
师问1：你会画角吗？
（教师请一人上台展示） 师问2：你还会画哪些角？ 师问3：在初中，角是怎么定义的？ 【定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形 定义：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形】 师问4：角的取值范围是什么？ |
1.学生动手操作 2.锐角、直角、钝角、平角、周角 3.学生回顾旧知 4.0o~ 360o |
开门见山，通过学生画出的锐角、直角、平角、钝角、周角，复习旧知引出新知。 |
||
环节2： 实物导课 问题导学 |
生 生 互 动 问 答 式 师 生 互 动 问 答 式 |
用学生自己做的时钟教学，让时钟制作者上台展示：同伴之间一问、一演、一答形式 台上生问1：若时钟快了5分钟，分钟该怎么调准？（该生调节时钟，台下学生观察并回答问题） 台上生问2：若时钟快了60分钟，分钟该怎么调准？ 台上生问3：若时钟快了120分钟，分钟该怎么调准？ 台上生问4：若时钟慢了20分钟，分钟该怎么调准？（该生调节时钟，台下学生观察并回答问题） 师问5：哪个角是我们之前没见过的？ 师问6：这些角都是通过旋转产生的，那旋转方向有几种？ 师问7：这两种方向什么关系？ 师问8：在初中，如何表示具有相反意义的量？ 【任意角】：（板书） 正角：按逆时针方向旋转而成的角； 负角：按顺时针方向旋转而成的角； 零角：一条射线不发生任何旋转，也认为是一个角。这个角叫零角。 |
台下学生观察并回答问题： 1.逆时针旋转30o 2.逆时针旋转360o 3.逆时针旋转720o 4.顺时针旋转-120o 生发现：720o 生：两种 生：正好相反 生：正和负 |
学生利用专业优势，小组合作完成时钟制作， 通过时钟，结合生活经验创设情景，抽象成数学问题，聚焦学科素养求创新，培养学生数学核心素养。 |
||
环节3： 列举实例 生活数学 |
师 生 谈 论 式 |
教师针对学生说的例子进行补充 教师出示：亚运会跳水等 |
学生生活举例 1.车轮 2.摩天轮 3.风车 4.轮滑 |
通过学生举例，比如亚运会跳水项目，意在结合当下社会信息，培养学生爱国情怀，达到五育并举的效果。 |
||
|
环节4： 学以致用 再悟升华 环节4 自编自演 回归生活 环节5 设计作业 巩固求新 |
师 生 合 作 学 生 操 作 |
例题1：画出720o和-120o的角 1. 2. 3. 【确定始边-确定旋转方向-确定旋转量-画出终边】；注意方向--逆正顺负 |
1.学生说一说720o怎么画 2.一起画-120o |
该题的目的在于帮助学生巩固任意角的概念，加深对旋转方向以及旋转量的理解。 |
||
|
4.请学生实物操作（圆规）——旋转出-120o 出现课堂小事故： 1） 2） 师问9：没有转到位怎么补救？ |
1.针对出现的小事故学生思考：怎么补救 2.学生思考后发现： 转多了可以倒回一点；转少了可以接着转 于是得到： -120o=-150o+30o -120o=-90o+（-30o） |
通过学生出现的小事故，教师随机应变，重新生成课堂。同时也让学生体会角度的运算与数的运算一致，也为接下来临时生成的课堂——两角和与差的思考埋下伏笔，做了铺垫，
|
||||
| 5.思考升华 师问11：哪个角是所求的角？ 6. 说一说α+β, α+β,- 师借助学生画出-α和-120o的图位置各异引出：角的标准位置 【在平面直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴上】 |
学生画一画、说一说 |
这个过程,学生通过探究式学习，分解了本节课的难点，体现了从特殊到一般的认知规律。同时借助-a与-120o，学生画出来的角位置多样为媒介，引入角的标准位置，也显得比较自然，不突兀。 |
||||
|
7.师生：在直角坐标系中画出-120o的角 师问12：α和-120o的终边落在哪里？ 师问13：-90o 和180o的终边落在哪里？ 【在平面直角坐标系中，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角。如果角的终边落在坐标轴上，就不属于任何象限，称界限角】 |
|
这个环节的设置有着三个作用： 1）强化角的标准位置； 2）引出象限角和界限角， 3）为变式学生画角做铺垫。 |
||||
| 变式1：在直角坐标系中，画出下列各角， 并判断它们是第几象限角 |
学生上台板演 |
通过变式练习，让学生更深入、更透彻理解问题的本质，从而拓展了数学思维。 |
||||
| 变式2：上课到现在，分钟旋转形成的角多少度？并判断它是第几象限角 1）有一部分学生报出的答案是正角。 2）教师针对学生暴露的问题进行知识的强化和补充。 |
学生利用身边素材，自己出题，并求解（变式2是学生出的众多题目中选取的一个） |
通过自己取材出题， 让学生再次对抽象数学有更深刻的理解，更能够体验数学的实用价值。 |
||||
| 7、 1.填空： （1）-15o是第 （3）163o是第 2.时钟从8：10分到9：50分，分钟转过多少度？ 3.同一个直角坐标系中，画出以下3个角：30o 思考它们之间有什么关系？ |
|
练习1、2让学生巩固新知，练习3为下节课做了铺垫。 |
||||
|
五、板书设计 |
||||||
1．任意角的概念 正角： 负角： 零角： 2．象限角与界限角 |
||||||
| 六、
|
||||||
| 亮点： 1）教师利用课堂学生出现的小事故，立即改变原有思路，重新生成课堂，一节本来很平常的课，由于小事故的出现，变得非常丰富与精彩。 2）以生活时钟创设情景，看似平常，其实不然，从学生思维起点和生活经验入手，体会数学与生活相关联，再以问题链的形式，从具体到抽象，引入任意角的概念。 3）学生编题给课堂带来了惊喜，竟然能用现成素材编出变式2，而且与时钟引入做到前后呼应，使本节课从情境中引入，最后又回到情境中。努力方向：现代化软件的制作和应用，是我一直需要努力的方向。 |
||||||