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或
\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),
因此叫做“对数”螺线。

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[编辑] 定理

  • 等角螺线的臂的距离以几何级数递增。
  • 设 L 为穿过原点的 任意直 线，则 L 与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为 cot-1 ln b。
  • 设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为 tan-1 ln b，名为“倾斜度”
  • 等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。
  • 等角螺线的渐屈线和垂足线都是等角螺线。
  • 从原点到等角螺线的任意点上的长度有 限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。

[编辑] 构造等角螺线

  • 在复平面上定义一个复数 z = a + bi，其中 a, b ≠ 0，那么连结 z、z²、z³…… 的曲线就是一条等角螺线。
复平面上的等角螺线
  • 若 L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴， 那么指 数函数 ez 会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。
  • 使用黄金矩形：
黄金长方形中的等角螺线

[编辑] 自然现象


鹦鹉螺的贝壳像等角螺线

旋涡星系的旋臂像等角螺线

低气压的外观像等角螺线

[编辑] 历史

等角螺线是由笛卡儿在1683年发 现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺 线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。

[编辑] 参见

[编辑] 引用

[编辑] 外部链接

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