[转载]运用复数1的n次方根巧解一类复数方程
2011-11-29 20:24阅读：
复数开方是复数三角形式有关运算中相对比较复杂的一种运算。本文笔者拟就一类比较特殊的复数开方运算浅谈一点自己的管见，不到之处，恳请广大专家和读者批评指正。
一：温故、探究
在初中阶段学习解一元二次方程时，介绍了一种开平方法。然而，初中学生在解方程的实际过程中，应用起来却比较少。因为这种解法都可以转化为常用解法（公式法、因式分解法）来求解。但是，它对于复数开方运算有着十分积极的指导意义。开平方法，是利用了求一个非负实数的平方根。更深层次地讲，是利用了非负实数的一个算术平方根与实数1的两个平方根（+1、
）的积。
例1． 解方程：
解：因为9的算术平方根为3，所以x
1=3 (3=3*1)
(
)
例2．
解方程：
=0
解：先配方， =0
得 =9
再利用开平方法得
或
解得
二：迁移、创新
随着学习的深入，进了高中，数域的范围由实数扩大到复数。在复数范围内，存在着类似的解方程问题。首当其冲的是，在实数范围内无解的实系数一元二次方程必有一对共轭的虚数解。
例3．
在复数范围内解方程： =0
解：先配方， =0
得 =
或
解得
小结：复数 的二次方根为 和 。类似于实数范围内，如果定义 为复数 的最简二次方根，则 =1* ,
= * ，其中，1和 是1的两个平方根。
于是，在复数范围内解实系数一元二次方程，总可以先将该方程二次项系数化为1，再按二次项和一次项系数进行配方，最后运用类似于开平方法进行求解。但是，对于复系数一元二次方程，配方仍可以类似进行，然而，要求得一个最简二次方根，却相对比较困难。这时，可以将复数的代数形式化为三角形式，再利用三角形式的开方法则进行运算。
如何定义一个复数的最简n次方根呢？在此，我们借用复数的三角形式，非零复数r(cosθ+isinθ)
(r≠0)的n次方根
是n个复数，它们是 (cos +isin )
k=0,1,2,……,n-1
当θ是[0,2π)内的最小正角时，复数 (cos +isin
)称为非零复数r(cosθ+isinθ)(r≠0)的最简n次方根。
三:推广、应用
1．复数1的两个二次方根分别为：1、-1
复数1的三个三次方根分别为：1、cos +isin 、cos +isin
复数1的四个四次方根分别为：1、i、-1、-i
一般地，复数1的n个n次方根依次为：
1、cos +isin 、cos +isin
、……cos +isin
2．非零复数r(cosθ+isinθ) (r≠0,θ∈[0,2π))的最简n次方根为 (cos +isin )，
则它的n个n次方根依次为： (cos +isin
)、
(cos +isin )* (cos +isin )、
(cos +isin )*( cos +isin )、
……
(cos +isin )*( cos +isin )
这就告诉我们，要求一个复数的最简n次方根，首先将已知复数化为三角形式，并使用辐角主值。那么，最简n次方根的模是已知复数模的n次方根，辐角是已知复数辐角主值的n分之一。
3．适用对象：含有未知数的一次式的n次方与已知复数的n次方相等。这个已知复数可以不是最简n次方根的形式。
例4． 在复数范围内解方程：(1+x)4=(-1+ i)4。
分析：一般地，可以先将-1+ i化为三角形式，利用棣莫弗定理求出四次方，再利用复数三角形式的开方，求出1+x，进而求得x。
解：-1+ i =2(- + )=2(cos +isin )
(-1+ i)4=[2(cos +isin )]4=16(cos +isin
)
= 16(cos +isin )
于是，1+x=2(cos +isin ) k=0,1,2,3
所以，x=2(cos +isin )-1
k=0,1,2,3
因此，x1=2(cos +isin )-1=-1+ +i
x2=2(cos +isin
)-1=-2+ i
x3=2(cos +isin
)-1=-1- -i
x4=2(cos +isin
)-1=- i
这种解法思路比较清晰，但运算过于复杂，一不小心，就容易发生计算上的错误。在这个计算过程中，是先乘方，再开方，并且都是四次。若采用上述方法，不但可以简化计算，而且可以大大提高计算的正确率。
解法二：由题设可知， + i是复数(1+x)4的一个四次方根，当然，不一定是最简四次方根。因此，必有
1+x=-1+ i
1+x=(-1+ i)i =- -i
1+x=-1*(-1+ i)=1- i
1+x=-i(-1+ i)= +i
所以，x1=-2+ i
x2=-1- -i x3=- i
x4=-1+ +i
但是，下面这个例题中，复数的辐角不是特殊角。如果乘方后再运用棣莫弗定理进行开方，运算起来就比较复杂，然而运用复数1的6次方根就可以很巧妙地解出来。
例5． 在复数范围内解方程：x6=(3-4i)6
解：复数1的6个6次方根依次为：1、cos +isin 、cos +isin 、cos +isin 、cos +isin 、cos
+isin 。于是，
x1=(3-4i)*1=3-4i 、
x2=(3-4i)*(cos +isin )
=(3-4i)*( + i)=( +2 )+( -2)i
x3=(3-4i)*(cos +isin )
=(3-4i) *(- + i)=(- +2 )+( +2)i
x4=(3-4i)*(cos +isin )
=(3-4i)*(-1)=-3+4i
x5=(3-4i)*(cos +isin )
=(3-4i) *(- - i)=(- -2 )+(- +2)i
x6=(3-4i)*(cos +isin )
=(3-4i) *( - i)=( -2 )-( +2)i
例6．写出复数32的所有5次方根。
解：因为复数32的最简5次方根为：2；复数1的5个5次方根依次为：1、cos +isin 、cos +isin 、cos +isin
、cos +isin 。
所以复数32的所有5次方根依次为：
2、2(cos +isin )、2(cos +isin )、2(cos +isin )、2(cos +isin )。
例6． 写出复数32i的所有5次方根。
解：因为复数32i有一个5次方根为：2i；复数1的5个5次方根依次为：1、cos +isin 、cos +isin 、cos
+isin 、cos +isin 。
所以复数32i的所有5次方根依次为：
2i
2i(cos +isin
)=2(cos +isin )
2i(cos +isin )=2(cos +isin )
2i(cos +isin
)=2(cos +isin )
2i(cos +isin
)=2(cos +isin )
=2(cos +isin
)
正如前面所述，并不一定要找到复数的最简n次方根，只要确定它的一个n次方根就可以了。当然，对于那些不便于配方的高次方程，就只好通过复数三角形式的开方运算来进行了。
