“数学思考”和“解决问题”
2015-09-28 21:59阅读：
翟玉兰 发表于 2007-7-26 16:29:00
《国家数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》把课程的培养目标细化为四个方面，即知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度，并分别作了比较细致的阐述。发挥新课程的功能，需要在课程的实施过程中，认真落实这些目标，在课程改革之初，特别应该认真学习、深入理解这些目标。今天就课程目标中的“数学思考”和“解决问题”，讲一些个人的学习体会。
一、关于“数学思考”
《标准》里是这样说的：
? 经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。
? 丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。
? 经历运用数据描述信息，作出推断的过程，发展统计观念。
? 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。
1 、把发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念作为数学思考的具体任务，也作为数学思考的有效载体
除了“空间观念”曾被列入《大纲》外，数感、符号感、统计观念等都是由《标准》首次明确地列为数学课程的学习内容。《标准》把数学思考落实到建立初步的两“感”、两“观念”上，落实到学生认识并掌握重要的数学知识的过程中。
（ 1
）“数感”并不神秘。它是人对数与运算的一般理解，这种理解使人将数与现实情境联系起来，这种联系使人眼中看到的世界有了量化的意味。
“数感”十分重要。它关系到人的数学意识，即能用数学的视角去观察现实，能以数学的思维研究现实，能用数学的方法解决实际问题。一句话，它关系到人拥有的数学知识是“活”的还是“死”的。
“数感”需要培养。数感与具有数学知识的多少、与理解数学知识的程度有关，但决不是正比例关系。数感更多地表现为应用数与运算的态度与意识，突出表现为主动、自觉甚至自动化的应用。小学生的数感与有没有得到培养成正相关。
? 结合现实的素材理解或解释数的意义。
理解数的意义，建立正确的数概念，是认数教学的任务。理解数的意义一般有两个角度。一是从数的组成去建构，二是联系实际来体会。传统教学偏重前者，新课程则认为把这两个角度有机地结合起来，效果更好。
而且联系实际体会数的意义，更有利于学生在现实生活中应用自己认识的数。
? 估计问题的结果，并判断结果的合理性。
许多实际问题并不需要精确的结果，只要知道大约多少就够了。因此，估计在日常生活中的应用很广。估算与笔算和用计算器算不同，它不需要任何工具，更容易被人选用并主动进行。人们在使用恰当的估计方法时，已有的数感在起作用。通过估计，对数与运算又多了一次体验。
?用数表达和交流信息
对身边发生的事情和现象，如果用定量刻画的方式，借用数来描述或解释，能把握得更准确，交流得更清楚。学生善于用数来表达和交流信息，他们既对数学学习的价值有所体会，也是具有数感的表现。
（ 2）符号是语言的一种形式，数学符号是数学语言的一部分。
常见的数学语言有文字语言和符号语言，符号语言是在文字语言的基础上产生的，它把文字语言的主要内容以直观、形象的方式简练地表示出来，它方便人们进行表达、交流、思考以及解决问题。数学符号是人类在长期生活、生产实践中逐渐创造和发展的，是人类文明的表现。
符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解，以及主动地使用符号的意识和习惯。这里包含三层意思：一是理解各种数学符号的意义，表示什么意思，在什么时候使用以及怎样使用，这是发展符号感的基础。二是理解数学符号的作用与价值，为什么使用符号，有哪些好处，这是发展符号感的重点。三是在学习数学和应用数学时，在独立思考和与人交流时，都能经常地、主动地甚至创造性地使用符号，这是具有符号感的表现。
讲到数学符号，我们都会想到数学教科书里有很多。如表达大小关系的符号
<、=和>；表达运算的符号+、-、×、÷；表达运算顺序的小括号、中括号；0、1、2、3……9是数学符号，它们能组成无数多个数；小数点、分数线、百分号、千分号等是特定的数学符合；字母也可以作为符号，用来表达数量关系、计算公式……这些符号是人们公认的，习惯使用的，属于数学事实。
数学符号中还有一类不容忽视。这类符号只属于个人，是个人创造并习惯使用的。这类符号更有利于人开展数学思考，发现规律和找到解决问题的方法，更便于表达和交流。在过去的数学教学中，往往忽视了这一类数学符号。
发展学生的符号感可以同时从两方面进行：
?结合数学内容，及时教学一些数学符号。
从一年级起就开始教学数学符号，每个年级都有许多。教学常用的数学符号，一方面要从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，使学生认识符号、会用符号；另一方面还要让学生体会到由于使用符号，才很清楚、很简便地表达了这些具体情境中的数量关系和变化规律。
? 鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。
在使用自己的符号时，最能体会符号的价值，最能感受符号对自己思维的帮助，也最能积累使用符号的经验。这些正是符号感最重要的部分。
（ 3
）空间观念表现为对现实世界里的物体的形状、大小、位置、变化及相互关系的理解与把握。这里至少有两层意思：一是有比较丰富的表象；二是有利用表象进行描述、交流、判断、复制以及合理利用空间、改变生活环境的体验。
由于社会进步，物质生活日益丰富，有关空间与图形的数学内容越来越多地进入人们的生活，具有空间观念已经是人的基本素养。
过去数学教学也提培养学生的空间观念，但效果并不理想。分析原因，主要有三个。第一，教学素材严重不足。局限在四“体”（长方体、正方体、圆柱、圆锥）和五“形”（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形），几乎没有关于位置、方向、运动、变化的内容，与丰富多彩的现实世界存在明显反差。即使四“体”、五“形”的教学也缺乏与生活的联系，与学生经验的联系，往往就模型教模型。第二，教学重点偏移，以计算图形的周长、面积、体积为主，这些计算耗费了许多教学时间和精力，对发展空间观念的作用甚小。第三，教学策略与方法单调乏味。学生缺少观察材料，观察不充分；学生缺少操作器材，实践不到位。过早、过多用书面语言给出定义或给予描述，死记硬背时有发生，学生既缺少“表象”，又缺少“体验”。
新课程为了把发展学生的空间观念落到实处，采取了相应的措施。
? 首先是充实教学内容，增加了平移、旋转与对称，增加了物体的相对位置、认识方向和路线图、测量不规则图形等。
增加的内容都与现实生活密切联系，适宜小学生学习并有利于空间观念的发展。
?其次是削弱单纯的求积计算，减少计算的量、控制计算的数，并允许适当使用计算工具，保障主要的教学资源能用在形成丰富的空间表象上。
?更重要的是改变教学方式。“表象”存在于人的脑中，“体验”积累于人的心里，表象与体验都不能从外界输入，都不能由别人替代。只能发生在学生的数学学习活动中，通过自己的观察、操作、想像、模似、描述、分析、判断、推理等活动，感知、体验空间与图形的现实意义，即获得空间与图形的基础知识，同时发展空间观念。
（ 4）统计观念是人对统计活动的体会与理解，是自觉应用统计方法解决问题的意识。
这里的统计活动不局限在制作统计图表和计算平均数，而是在不确定情境中或在大量无组织的数据中作出合理决策的一系列活动。
在现代社会生活里，几乎每个人都会遇到就业、医疗、住房、保险养老
……在这些面前，人们更加主动，也更需要作出选择。每个人随时随地都能在媒体上或其他渠道里获得大量的信息。这里面有真也有伪，有适合自己的也有不适合自己的，需要作出判断。在众多信息与选择面前，有人如鱼得水、海阔天空，有人无所适从、错失良机。为什么？原因也许很多。但有一点几乎可以肯定，与统计观念的强弱有关。
统计观念表现为：能从统计的角度思考问题，认识统计对决策的影响和作用，在遇到有关的问题时，能自动地去收集数据，分析数据；具有收集、整理、描述，呈现统计数据的能力，能通过这些统计活动获得有意义的数据；具有依据统计得到的数据材料进行决策的习惯和意识。
发展小学生的统计观念可采用的方法：
?利用现实的情境与问题激起统计的愿望。
在解决实际问题时经常使用统计方法，为什么会想到统计？主要原因是要解决的问题使人感到需要去进行关于信息加工、处理的活动，无论是教材还是教师，都应该认真创设这样的问题情境，使学生需要统计并主动参与各种统计活动。
?组织学生参与统计活动的全过程。
前面已经说到，统计活动不限于制作统计图表。统计活动包括提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，作出决策，进行交流，评价反思等。在学生产生统计愿望后，要让每一名学生都参与数据的处理活动，了解数据的来源与内容，学习加工数据的方法；要让学生利用统计得到的数据进行分析，判断，作出决策，体会获得统计数据不是统计活动的最终目的，统计的意义在于充分利用数据作出合理的决策；要组织学生交流统计的收获与体会，评价自己的统计活动，这时的积累，是统计观念的精华。
2、结合数学思考培养创新精神和科学态度
数学思维按思维的材料与形式分，有形象思维和抽象思维。逻辑思维是抽象思维，形象思维和抽象思维是相互影响、相互支持的。
（ 1）《标准》遵循学生的发展规律，对数学思维提出恰当的要求。
我国的研究表明，一、二年级学生以具体形象思维为主，三、四年级学生的抽象思维逐步增加，五、六年级学生的抽象思维继续发展，但往往还需要具体形象为支持。在整个小学阶段，既要发展学生的形象思维，也要发展抽象思维。逻辑思维只能是极初步的。
（ 2）《标准》结合数学思维培养创新精神和科学态度。
推理是重要的思维形式，常见的推理有演绎推理、归纳推理和类比推理。
演绎推理是从一般到特殊的推理，常用“三段式”进行，演绎推理的正确性是由大前提、小前提的真实性予以保证的。
归纳推理是特殊到一般的推理，不完全归纳的结论可能是正确的，也不能不正确。
类比推理是特殊到特殊的推理，它依据事物存在的某些相同或相似进行推理，结论有或然性。
归纳推理，类比推理和统计推理都是合情推理。合情推理是凭借已有的知识和经验，在具体的情境中通过归纳、类比、猜测、估计进行的。虽然合情推理的结论也有或然性，但往往是大胆的设想，超乎寻常的猜想，孕育着发明和创造。《标准》要求培养学生的合情推理能力，让学生经历观察、实验、猜想等数学活动的过程，旨在培养他们的创新精神。
第一学段：在教师的帮助下，初步学会选择有用信息，进行简单的归纳与类比。
第二学段：收集有用信息，进行归纳、类比与猜想，发展初步的合情推理能力。
由于合情推理的结果有或然性，因此需要验证，证明推理的结论是否正确。对合情推理的结果给予证实，不仅鉴定了推理的正确，又培养了实事求是的态度和严谨的作风。
（ 3）《标准》要求阐述观点促进思维。
表述自己的思考，是暴露、外显思维过程与结论的一种手段，表述观点主要凭籍语言，并辅之以图形、演示等直观方法。阐述自己的观点，至少能起两点积极作用。
促进思维。在思考时使用的是内部语言，阐述时使用外部语言。在讲述自己的观点时，要把内部的思维语言转换成外部的交际语言，这种转换势必再次促进了个体的思考。这时的思考显得更有条理，更清晰。同时还能发现思维活动中的问题或错误，及时给予纠正。
促进交流，在阐述自己观点的同时，倾听他人的观点，实现在交流中的互补与共享。
《标准》对两个学段分别提出了目标。
第一学段：进行简单的、有条理的思考，初步学会表达过程和结果。
第二学段：进行有条理的思考，对结论的合理性作出有说服力的说明。能表达过程，解释所得的结果。
二、关于“解决问题”
《标准》把解决问题作为课程目标，这里的“解决问题”不是以往的解答数学习题，特别不是通过“识别题型，模仿例题，套用解法”的解题。
当然，解决问题离不开“问题”，这里的问题一般具有两个特征：
一是问题的新颖性，以此以前，学生没有遇到过。它没有现成的类型可套，更没有现成的解法可搬。它有一些疑难需要思考，它的解法在开始时并不明显，需要探索寻找。
二是问题的挑战性，它与学生已有的认知结构既有联系，又有距离。学生能感觉到这种联系，知道问题涉及到哪些基础知识；学生也能感觉到这里的距离，有信心跨越，但又不是轻而易举的。问题的挑战性，使学生进入一种积极的愤悱状态。
正是问题的这两个特点，激起学生的兴趣与探索热情，唤醒学生的已有经验，促进创新精神和实践能力的提高与发展。
《标准》里是这样说的：
?初步学习从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
?形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
?学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
?初步形成评价与反思的意识。
在《标准》提出的上述目标中，发展应用意识和形成解决问题的策略是重点。
1、发展应用意识
小学生的应用意识主要表现在：初步体会现实生活中蕴含着大量的数学信息可以利用；初步体会数学在现实生活中有广泛的应用；初步体会应用知识时要灵活、综合。
学生的应用意识是在获得知识与技能的同时发展的，是伴随着数学思考和积极的情感态度同时发展的，教学中要做到三点。
? 引导并鼓励学生到现实生活中（包括教科书的画面中）仔细观察、收集信息，能量化的信息尽可能量化。
现实世界千姿百态，蕴含信息的方式多种多样，这些信息只有被发现才能利用。观察是发现信息最常用也是十分有效的手段，把发现的信息用数学的方式描述显得更清晰，也便于应用。要把收集信息的机会留给学生，使学生在观察中学会观察，在观察中体会生活中有大量的数学信息。
? 引导并鼓励学生在现实的情境中提出问题。
“解决问题”不只是解决他人提出的问题，还要自己提出问题并努力去解决它们。善于提出问题的人必定善于思考，要鼓励学生大胆地提出问题，逐渐引导他们提出一些与众不同的、有价值的问题，把利用信息和提出问题有机结合，把质疑与提出问题融为一体。
? 引导并鼓励学生应用知识和经验，主动解答新颖的问题。
在解决问题时，有些问题已经认识，曾经解决过，也有些问题是新颖的，以前没有见过。对前一类问题，固然应该让学生独立解决，对后一类问题也应该让学生独立思考，在动手实践与合作交流中解决。教师的作用是指点学生分析问题与已有信息间的联系，去搜集与问题可能有关的知识和方法，去选用需要的学习活动。要鼓励学生从不同角度，用不同思路，联系不同的相关经验，探索问题的多种解法。
2 、形成解决问题的一些基本策略
数学教学不可能把各种各样的问题一一讲全，把解答的方法都教给学生，也不可能把所有的问题都编入练习，让学生一一认识。教学的功能是帮助学生习得解决问题的一些常用的基本方法，并引导他们灵活应用这些方法，适应问题的千变万化，这就涉及到“策略”。
小学生具有解决问题的策略表现为：积累了一些常用的解决问题的方法（这是形成策略的前提）；经常灵活地应用方法解决问题（这是形成策略的途径）；对合理地使用方法有所体验、有些经验（这是策略的重要成份）。
可见，策略与方法既有密切联系，又有明显区别，策略比方法上位，如果说“方法”是解决问题时所采用的手段与行为，那么，“策略”是选择和使用方法的思想指导。策略比方法内隐，如果说“方法”有时还可以由外部赋予，那么，“策略”完全是自身内部形成的。
? 教学中不仅关心问题的答案是否正确，更要关注解决问题时采用了什么方法，以及方法是怎样想到的。
对学生的发展而言，解决问题的学习价值不只是获得问题的结论或答案。解决问题的教学意义在于，学生通过解决问题的数学活动体验方法、形成策略。当然，答案正确是重要的，如果问题的结论错的，那么解决问题的过程和方法中肯定有错。但我们更应看到，如果把目光仅仅定格在答案上的话，那么课堂上仅仅在解决问题，而不是进行解决问题的教学。学生没有形成解决问题的基本策略，即使解答了大量的题又有何用？
? 变教学解法为指导探索，给学生留下独立思考、动手实践的时空。
教学中要防止两种状况，一是教师把解决问题的方法讲得过多、过细，学生只是被动接受；二是教师指导乏力，学生得不到必要的支持。
变教学解决为指导探索，是教学方式的转变。如果实际问题里有许多信息和处于无序状态的数据，可以从整理数据入手。整理数据的方法很多，分类列表、分组排列、相关连线、画图展示
……
采用哪一种，或由学生选择，也可以教师建议。如果实际问题里有动手操作的内容，则可以指导学生以操作为突破口，寻找解题思路。
? 组织起学生间实实在在的合作交流。
合作交流作为一种新的学习方式，在解决问题时经常起这样的作用：当思维受阻时，合作交流能相互启发，解除困惑；当问题解决后，交流中各抒已见，体现方法多样、策略多样。组织合作交流要讲究时机，要讲究全体学生的积极参与。
? 对解决问题的过程与方法反思评价。
这是形成“策略”非常关键的一步，也是传统教学疏忽的一环。如果说前面所讲的几点尚是指向问题的解决与答案，那么现在的反思评价则是学习者自身内涵的充实。引导小学生开展反思评价，要求不宜过高，要踏踏实实地进行。如：反思解决问题的方法——是怎么做的？评价其合理性——这样做对吗？反思解决问题的方法——怎样想到的、怎样使用的？评价其多样性——还有其他方法吗？还有更好的方法吗？在反思与评价时，要珍惜学生的点滴成功与进步，评出自信与喜悦，这些虽然属于情感与态度方面，但对策略的形成是不可缺少的支持。
3 、着力从三个方面落实“解决问题”
（ 1 ）改革应用题教学。
过去课程里的应用题教学存在许多弊端，不利于“解决问题”目标的实现，新课程大力改革过去的应用题教学。除了在安排上不单独设立“应用题”章节，把它与计算教学结合在一起，使计算更具有现实的意义，还有这些改革：
?选材与呈现贴近学生的现实；
?把学生的已有经验作为解题的重要资源；
