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Hellinger distance

2012-11-19 14:31阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2247229367

在概率论和统计理论中，Hellinger距离被用来度量两个概率分布的相似度。它是f散度的一种（f散度——度量两个概率分布相似度的指标）。Hellinger距离被定义成Hellinger积分的形式，这种形式由Ernst Hellinger在1909年引进。

目录
·1 定义
·1.1 度量理论
·1.2 基于Lebesgue度量的概率理论
·1.3 离散概率分布
·2 性质
·3 例子

1 定义
1.1 度量理论
为了从度量理论的角度定义Hellinger距离，我们假设P和Q是两个概率测度，并且它们对于第三个概率测度λ来说是绝对连续的，则P和Q的Hellinger距离的平方被定义如下：
H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\displaystyle \int \left(\sqrt{\frac{dP}{d\lambda}} - \sqrt{\frac{dQ}{d\lambda}}\right)^2 d\lambda.
这里的dP
/ dλ 和 dQ / dλ分别是P和Q的Radon–Nikodym微分。这里的定义是与λ无关的，因此当我们用另外一个概率测度替换λ时，只要P和Q关于它绝对连续，那么上式就不变。为了简单起见，我们通常把上式改写为：
H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\int \left(\sqrt{dP} - \sqrt{dQ}\right)^2.
1.2 基于Lebesgue度量的概率理论
为了在经典的概率论框架下定义Hellinger距离，我们通常将λ定义为Lebesgue度量，此时dP / dλ 和 dQ / dλ就变为了我们通常所说的概率密度函数。如果我们把上述概率密度函数分别表示为 f 和 g ，那么可以用以下的积分形式表示Hellinger距离：
\frac{1}{2}\int \left(\sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)}\right)^2 dx = 1 - \int \sqrt{f(x) g(x)} \, dx,
上述等式可以通过展开平方项得到，注意到任何概率密度函数在其定义域上的积分为1。
根据柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality），Hellinger距离满足如下性质：
0\le H(P,Q) \le 1.
1.3 离散概率分布
对于两个离散概率分布 P=(p1,p2,...,pn)和 Q=（q1,q2,...,qn)，它们的Hellinger距离可以定义如下：
H(P, Q) = \frac{1}{\sqrt{2}} \; \sqrt{\sum_{i=1}^{k} (\sqrt{p_i} - \sqrt{q_i})^2},
上式可以被看作两个离散概率分布平方根向量的欧式距离，如下所示：
H(P, Q) = \frac{1}{\sqrt{2}} \; \|\sqrt{P} - \sqrt{Q} \|_2 .

2. 性质
Hellinger距离的最大值1只有在如下情况下才会得到：P在Q为零的时候是非零值，而在Q为非零值的时候是零，反之亦然。
有时公式之前的系数1/2会被省略，此时Hellinger距离的范围变为从0到2的平方根。
Hellinger距离可以跟Bhattacharyya系数BC(P,Q)联系起来，此时它可以被定义为：
H(P,Q) = \sqrt{1 - BC(P,Q)}.
Hellinger距离通常在顺序和渐进统计中使用。

3. 例子
两个正态分布P 和 Q的Hellinger距离的平方可以被定义为：
H^2(P, Q) = 1 - \sqrt{\frac{2\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} \, e^{-\frac{1}{4}\frac{(\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} .
两个指数分布P 和 Q的Hellinger距离的平方可被定义为：
H^2(P, Q) = 1 - \frac{2 \sqrt{\alpha \beta}}{\alpha + \beta}.
两个威利分布P 和 Q（此处k是一个形状参数，α和β是尺度系数）的Hellinger距离的平方可被定义为：
H^2(P, Q) = 1 - \frac{2 (\alpha \beta)^{k/2}}{\alpha^{k} + \beta^{k}}.
对于两个具有参数α和β的泊松分布 P 和 Q，它们的Hellinger距离可被定义为：
H^2(P,Q) = 1-e^{-\frac{1}{2}(\sqrt{\alpha} - \sqrt{\beta})^2}.

上述内容来自wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Hellinger_distance#mw-head

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