[转载]象术漫谈：南宋杨辉与河图洛书

杨辉，字谦光，南宋钱塘（今杭州）人。《宋史》无传，其生卒年月及生平事迹无从详考。他是当时杰出的算学家，著述甚多，有名的算书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年），《日用算法》二卷（1262年），《乘除通变本末》三卷（1274年），《田亩比类乘除算法》二卷（1275年），《续古摘奇算法》二卷（1275年）。在杨辉的著作中，最有影响的独创成果是“纵横图”。
（一）河洛新篇，创纵横图
杨辉给出的纵横图，记录在《续古摘奇算法》卷上。其中有方阵十三幅，它们是：洛书数一幅，四四图两幅，五五图两幅，六六图两幅，七七图两幅，六十四图两幅，九九图一幅，百子图一幅，其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。另有圆形六幅，名之为：聚五图，聚六图，聚八图，攒九图，八阵图，连环图。
《续古摘奇算法》在杨辉的算学著作中，比较特别，这是一本类似笔记体的著作。纵横图记载在这里的卷上，可以看出杨辉本人是非常珍视这些研究的。
在古人眼中，河图洛书是算学文化的渊薮。南宋杨辉是古代世界第一位将河图洛书在规模上加以发展的算学家。河图，纵横各一线，圆图形式；洛书，纵横各三线，方图形式。河图洛书这样的圆点数阵模式，杨辉称为纵横图。
什么是纵横图呢？如果给出一个范围很小的形式，可以说：纵横图是一个n行n列的平面数字方阵，每一行的和，每一列的和，每条对角线的和，都相等。更大范围的形式，可以说成是由数构成的具有某种特性的结构体。
在杨辉的这些纵横图中，我以为最有趣的有三个，依次是：洛书，四四阴图，九九图。
[1]洛书，杨辉留下了简易的构造口诀，后世研究发展为构造单数（2k+1）阶方阵。
[2]四四阴图，杨辉也留下了构造口诀，后世研究发展为构造双偶数（4k）阶方阵。这样的方阵，构造转盘模式，依然有非常广阔的空间。可是，由于没有中心数字，因而也就无法在整体上实现形如卍字符的螺旋结构。
[3]九九图，这个图非常有趣，是用全息构造的办法完成的。在前面的短文《洛书旋机与全息构造》中，我仔细的谈过这一方法。当初，我写那篇短文的时候，本来想选择杨辉的九九图，再三推敲放弃了，实际上我选择的图和杨辉的图