复杂二次分式函数极值的快速解法
2015-04-06 10:38阅读：
在高考中,我们经常会碰到二次分式函数问题,这类问题通常比较麻烦,
有时运算量很大,很难在短时间内解决.所以本文将研究求解二次分式函数单调性,值域,极值的简便方法.希望能得到一个极值通用公式,
以便在考试中套用,节约时间.
二次分式函数具有形式
.
我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.
- 定义域和有界性
![]( "复杂二次分式函数极值的快速解法")
,设
.则函数定义域
.当
.此时函数无界.当
,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比如
).所以通常当
,二次分式函数是无界的.
是函数的渐近线.
当
,函数定义域为
.函数有界.
- 单调性,极值,值域
当
,
,可以将函数化为
.
.对于值域中的每一个y,方程都有实数解,
.这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入
函数解出
,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法.
,根据极值与
的大小即可判断单调区间.
这种情况最多有三个单调区间.
当
,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出
.出现这种情况,求解
和
.分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分式值域.比如
分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.
.首先定义域
解得
.分离分子中的二次项得
.
.代入得
函数值域
根据
,
可判断出单调区间
共有5个单调区间
顺便再算一下函数零点
有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像
通过这样一个例子,我们意识到,如果在考试中碰到这样的函数,分离变量换元的方法计算量非常大并且需要一定的技巧,浪费了我们很多的时间.而判别式法只能求极值和值域,对于何处取极值,还需将极值代入原函数.对于上面的例子,直接代会函数运算过于复杂对于一些简单二次分式函数,分离变量是可行的,并且非常快.但是对于像上面这种二次分式函数,我们找到需要一种计算量很小的方法.
二次分式函数极值公式
很多老师不赞成用导数计算二次分式函数极值.但为了找到一个简便公式,我们必须通过导数来研究二次分式函数.
我们只关心导数的符号,导数分母是个正数,我们记分子
.函数取极值时
.
我们只需解方程
即可得到函数取极值时的
x值.为了防止错误,最好验证的得到的x值是否在定义域内.
将方程系数与
比较.发现N可以写成三阶行列式.
.这样就很容易记住了.
对于上面的例子
,
解得
.这种方法比分离变量快多了.
要求单调区间,由于N的符号和
相同,大致画出
的图像,只需画出开口方向,标出零点和渐近线即可确定单调区间.由此可知二次分式函数最多可有5个单调区间.
如果要求极值,把x代入函数
计算量很大,对于x很复杂的情况建议用判别式求值域.
想到取极值时的x值可用方程
表示,我们也找到一个关于y的方程.
联立
,消去x整理得
.
我们只需特别记住一次项系数
.比较
发现这一项也挺好记的:二次项系数与常数项系数积的和的4倍减一次项系数积的两倍
对于上面的例子,将系数代入该方程得
解得
.
根据已求出的单调区间, 比较
和极值的大小即可区分极大值和极小值.
我们重新回顾判别式求值域的方法.
