【关键词】无限循环小数，无理数，极限理论，微积分，高等数学
目 录
新浪博客
【关键词】无限循环小数，无理数，极限理论，微积分，高等数学
目 录
1. 部分等于整体吗？
在小学数学里，两个小数可以比较大小，其方法是：当两个数的整数位不同时，整数位数值较大的那个数更大。
根据这个规则，我们把无限循环小数 0.999… 和1写在下面，比较一下哪个大、哪个小。为了方便，不妨把整数1看作无限循环小数1.000…
0.999…
1.000…
两个数的整数位分别是0和1，由于0 <
为了保证上述结论更加准确，我们再给出另外一种证明。
设n是无限循环小数0.999… 中“9”的数量，
当n ＝ 1 时，0.9 <
当n ＝ 2 时，0.99
当n ＝ 3 时，0.999 <
当n ＝ 4 时，0.9999 <
……
当n ＝ ∞ 时，0.999… <
0.999… <
上面用两种不同的方法严格地证明了“0.999… <
“部分小于整体”来自于著名的欧几里得第五公理，也是人类经过几百万年的亲身实践所证明的真理。
然而，另一些数学家却证明了一个令人惊诧的命题：0.999… ＝ 1。
同样根据小学数学知识，除法运算可以直接写成分数形式，也可以写成小数形式
1÷9 ＝ 1/9
0.111… ＝ 1/9
两边同时乘以9，得到
0.999… ＝ 1
除此之外，数学家们还给出了另一种更“严谨”的证明。
假设 x ＝ 0.999…
两边同时乘以10，得 10x ＝ 9.999…
等号右边数值分解，得 10x ＝ 9 + 0.999…
代入假设，10x ＝ 9 + x
化简，9x ＝ 9
所以，x ＝ 1
上式与假设比较，等号左边都是x，等号右边必然相等，于是有
0.999… ＝ 1
这样，这些数学家也以两种不同的方式“证明”了“0.999…＝1”，它是“部分等于整体”的一个典型实例。
可以看出，依据当今的数学体系，可以合法地得到两个完全矛盾的结论：“部分小于整体”和“部分等于整体”。
两个相互矛盾的命题水火不容，不能共存，哪一个是错误的呢？又是什么原因导致了这个错误呢？
2. 孽源寻踪
人类几百万年来的社会实践反复证明，“部分小于整体”是颠扑不破的真理，而“部分等于整体”一定是错误的命题。
那么，产生错误的原因在哪里呢？
问题出在划分小数范围的失误。数学家们没有仔细甄别，也没有经过任何证明，主观地将无限循环小数划入了有理数家族，埋下了隐患，从而导致了前面的错误。
下面来证明，将无限循环小数划入有理数是产生错误的根本原因。
有理数、无理数最重要的区别，是看它们能否转化为p/q型的分数。这一特征也是区分有理数与无理数最终标准——所有的有理数都能转化为p/q型的分数，所有的无理数都不能转化为p/q型的分数。
依据上述标准，我们对无限循环小数0.999… 进行检验，看看假设它是有理数时，能否推导出“0.999…＝1”。
假设“无限循环小数0.999…是有理数”，按有理数的定义，它就可以转化为p/q的形式（p、q是整数），即
0.999… ＝ p/q
p ＝ 0.999…q
10p ＝ 9.999…q
10p ＝ (9 + 0.999…)q
10p ＝ 9q + 0.999…q
10p ＝ 9q + p
9p ＝ 9q
p/q ＝ 1
0.999… ＝ 1
上述事实表明，数学家们的人为规定“0.999…是有理数”确实是产生错误命题“0.999… ＝ 1”的根本原因。
3. 所有无限小数都是无理数
“有理数”、“无理数”是怎么来的呢？
有理数，英文为RATIONAL，数学名词，来自RATIO（比例）, 表示两个整数之比， 本应译为“比例数”，却被错译成了“有理数”，讹传至今。虽然不断有有识之士提议将其更改为“比例数”、“可比数”，但由于种种原因，一直未能实现。
无理数，英文为IRRATIONAL，数学名词，表示“不能表示为两个整数之比的数”，是第一次数学危机的产物，本应译为“非比例数”、“不可比数”，但由于“有理数”的误译，为了保持概念的一致性，错译为“无理数”。
目前数学理论中，有关有理数、无理数的划分如下：
有理数：小数、分数、整数。其中小数包括有限小数及无限循环小数。
无理数：