新牛顿-莱布尼兹公式的无极限证明

2018-09-11 17:18阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2276104297

　　【摘要】介绍曲边梯形面积的两种经典求法。先从有限分割引出计算原理，再通过无限分割得出新牛顿-莱布尼兹公式，整个证明不涉及任何极限概念。

　　【关键词】曲边梯形；有限分割；无限分割；牛顿-莱布尼兹公式

　　某非线性函数 f(x) 在 [a, z] 区间为一段光滑曲线，a-f(a)-f(z)-z 形成一个曲边梯形，求它的面积 S。
　　求解曲边梯形的面积，有比较粗糙的有限分割法（图1）和比较精致的无限分割法（图2），后者就是定积分法。

　　1、有限分割法

　　在x轴方向上做有限分割时，[a, z] 被分割成有限个子区间，整个曲边梯形分割成有限个高而窄的小曲边梯形，如图1所示。为了方便，我们设水平方向为均匀分割，每个子区间 [

] 的宽度皆为 Δx。每个小曲边梯形的顶部都是曲线的一部分，子区间的两端分别对应着两个函数值

和

。
　　我们在两个函数值和的中间选择一个数

，并通过这个点作水平线，形成一个规则的小矩形。

的选择依据这样的原则：尽量使这个规则小矩形的面积与子区间小曲边梯形的面积相等。这样，总面积S就可由 n 个规则的小矩形 —— 高度为

，宽度为 Δx —— 的和（黎曼和）近似表示，即
　　

（1）
　　分割的数量越多，各子区间小矩形的面积越接近小曲边梯形，总面积的误差越小，结果越准确。但有限分割法的工作量很大，效率很低。

　　2、无限分割法

　　在x轴方向上做无限分割时，[a, z] 被分割成无限个子区间，整个曲边梯形分割成无限个高而窄的小矩形，如图2所示。为了方便，我们设水平方向为均匀分割，每个子区间的宽度为无穷小量δx，小矩形的高度随x值而变化，等于曲线的函数值 f(x)。每个小矩形可以的宽度为δx，高度为 f(x)，面积为 f(x)δx。
　　我们可以方便地将任意一个子区间小矩形的面积写出
　　

（2）
　　在（2）式中，等号左边的符号 Si 表示第 i 个待求小矩形的面积。等号的右边，象征性符号 S 表示本公式的目的在于求面积；S 下方与上方的

、

表示小矩形在x轴上的起点和终点坐标；f (x) 、δx 分别表示小矩形的高度、宽度。
　　在希腊字母表中，Δ 与 δ 是一对大小写字母。有限分割时，我们用大写的 Δ 后面加一个 x 表示子区间小矩形的宽度（Δx）；相应地，无限分割时，我们用小写的 δ 后面加一个 x 表示子区间小矩形的宽度（δx）。
　　引入莱布尼兹创建的符号系统对（2）式加以改造，将象征面积的符号“S”拉高、用拉丁字母“d”代替希腊字母“δ”，并将象征性符号“S”下方、上方之

、

的位置向右稍稍移动，于是（2）式就变成了现代微积分的标准形式
　　

（3）
　　（3）式表示任何一个子区间小矩形的面积。
　　为使得后面的证明看起来更简洁，我们假设拉丁字母表中的字母、特别是d与w之间有无穷多个不同的字母可用。
　　无限分割时，x轴上形成了无穷多个子空间，x轴上各点的位置可按拉丁字母顺序分别标记为
　　a、b、c、d、…… w、x、y、z
　　根据（3）式，依次写出每个子区间小矩形的面积

　　上述无穷多个等式，左边相加，相当于曲边梯形的总面积S；右边相加，相当于积分子区间的合并与扩展，即
　　

（4）
　　

（5）
　　比较（4）、（5）两式，等号左边相等必导致等号右边相等，于是有
　　

（6）
　　这样，我们就将曲边梯形的总面积S表示成了在已知 [a, z] 区间求定积分的形式。那么，这个定积分的具体数值如何计算呢？

　　3、新牛顿-莱布尼兹公式

　　设 F(x) 为积分表中对应函数 f(x) 的原函数，由于求导过程中引入了无法消除的误差，我们称F(x) 为 f(x) 的“伪原函数”，（对于非线性函数而言，无误差的“真原函数”无法用简洁的数学解析式准确表示，此处不详细论述），有

（7）
　　其中

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