圆中的动点及最值问题

圆中的动点及最值问题
在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：
(1) 应用几何性质：
① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
② 两点间线段最短；
③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④ 定圆中的所有弦中，直径最长。
(2) 运用代数证法：
① 运用配方法求二次三项式的最值；
(通常和经济问题，效率问题相结合)
② 运用一元二次方程根的判别式。
这里只介绍圆中的动点和最值相结合的问题，还会有和相似相结合的。下面两道题其实是同种类型的题。一般考试涉及到都会是这两种。

1.（2010•河北区模拟）如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，则AP+BP的最小值为_________.
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN^的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=3，
∴A′B=3
∵两点之间线段最短，
∴PA+PB=PA′+PB=A′