【集体备课】五下《找次品》
2016-06-05 05:58阅读：
五年级数学广角集体备课
主备人：沂堂镇中心小学 郑凤君
参备人：五年级数学教师
指 导：沂堂镇中心小学 王永胜
《数学广角──找次品》课标解读
一、课标要求
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：“体验随机事件和事件发生的等可能性”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”“经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。
二、课标解读
（一）通过探究活动，从简单到复杂，一般到特殊，充分经历“比较——猜想——验证”的过程
“找次品”的教学内容实践探究性较强，教师教学时，不是直接教给学生找次品的方法，而应给予学生充足的探究时间和空间，让学生知道“找次品”问题的含义，充分地比较、观察、讨论、交流，体会到解决问题的策略的多样性，
为后续寻求最优策略作好铺垫。教学时可以设计有层次的、丰富的探究活动，让学生在自主探索中体会，逐步地进行归纳。先从最简单的“3
个”的情形入手，让学生感知基本的推理过程，即“如果天平平衡……如果天平不平衡……”，然后研究“8
个”“9
个”的情形，比较分析，寻找规律，再用“10
个”“11
个”等情形进行验证，归纳出找次品的最优策略。
《数学广角──找次品》教材分析
本单元以“找次品”这一探索性操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式探索解决问题的策略。同时，进一步理解随机事件（例如，2
个零件中有1
个较重的次品，只要把这2
个零件放在天平两端，天平一定不平衡；3
个零件中有1
个较重的次品，任意取2
个放在天平两端，天平可能平衡，也有可能不平衡），体会解决问题策略的多样性和优化思想，感受数学的魅力，培养观察、分析、逻辑推理的能力，并学习用直观的方式清晰、简洁、有条理地表示逻辑推理过程。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学五年级》，下同）的主要区别
1
．与实验教材相比，例1
将原来问题中的5
瓶钙片改为3
瓶钙片，主要目的是让学生从最简单的问题情境入手，初步理解“找次品”的含义，明确找次品的基本思路。
2
．与实验教材相比，例2
将原先问题中的探索9
个零件改为先探讨8
个零件，再研究9
个零件，主要目的是让学生理解“尽可能地将待测物品平均分成3
份”的合理性。
3
．与实验教材相比，修订后的教材从例题到习题，增加了直观图和流程图的表示方法，配以相应的文字说明，目的是能比较简洁而又清晰地表示出逻辑推理的整个过程，让人一目了然。
4
．与实验教材相比，修订后的教材更加注重数学思维过程的表达。如例1
中小精灵的提问，实验教材为“说一说你是怎么称的？”新教材改为“你能想办法把用天平找次品的过程，清楚地表示出来吗？”例2
新教材的提问为“你们打算怎样表示找次品的过程？”目的是引导学生用直观、简明的方式，清晰地表示出推理过程，理清思路，为后面数量更多的找次品问题作好铺垫。
5
．与实验教材相比，修订后的教材更加注重帮助学生理解题意。如例2
中“至少称几次能保证找出次品？”是理解的难点，新教材通过两位同学的对话帮助学生理解“至少”“能保证”的含义，这样的编排是在实验教材中没有体现的。
6
．与实验教材相比，修订后的教材更加注重理解逻辑推理的思想过程与方法。如例2
下面的记录表格发生了变化，新教材的表格中设置为“每次每边放的个数”“分成的份数”“至少要称的次数”，而实验教材设置为“零件个数”“分成的份数”“称的次数”“保证能找出次品需要称的次数”，主要目的是从实践活动提升到逻辑推理的层面上，头脑中形成一种抽象的数学化的模拟天平。
7
．与实验教材相比，修订后的教材在习题设计中涉及面更广、针对性更强。例如，新教材将“做一做”中实验教材的10
瓶盐水改为28
瓶盐水，删除了实验教材练习二十六第3
题分数加减法的习题和第7
题关于集合运算的习题。
二、教材例题分析
本单元分两个内容编排：从3
件物品中找出1
件次品（轻一些），初步认识“找次品”问题，了解找次品的基本思路；从8
个零件中找出1
个次品（重一些），探索找次品的一般方法。
例1
：从3
件物品中找出1
件次品。教材从最简单的问题（3
瓶钙片）入手，让学生讨论找次品的方法，通过交流聚焦到用天平来找次品的方法上来。通过用天平直观演示，说明基本推理过程：如果天平平衡……如果天平不平衡……。接着教材通过小精灵的提问：“你能想办法把用天平找次品的过程，清楚地表示出来吗？”引导学生用直观方式记录找次品的思维过程。需要明确用天平找次品，并不是一定要通过天平称，而是利用天平平衡原理，通过逻辑推理确定出次品，因此教师可以引导学生用格式大致统一的直观图或流程图辅以文字说明来记录和推导，当然，学生也可以用不同的表示方法，但一定要合理。
例2
：教学找次品的一般方法。有了例1
的基础，学生已经知道找次品的基本推理思路，教材在让学生理解了“至少称几次能保证找出次品”的含义后，通过小精灵直接提出“你们打算怎样表示找次品的过程？”可采取以下措施：一是让学生将推理的过程用直观、简洁的方式表示出来，并用“直观图”示例引导；二是让学生把不同的方案记录在表格中，以便进行分析、猜测；三是通过问题给出探索的线索，找出称的次数最少的方法，进行归纳、验证，概括出找次品的最优方法。
本单元的教学重难点是理解并解决简单的“找次品”问题，充分经历“比较——猜测——验证”的过程，归纳出“找次品”的最优策略，感知逻辑推理的数学思想方法。
（二）注重数学思维过程的表达，理解并掌握逻辑推理的思想方法
逻辑推理是贯彻本节课的重要思想方法。在找次品的过程中，为了使别人明白自己是怎么解决问题的，就需要清晰、有条理地表示出逻辑推理的过程。在用天平找次品的推理过程中，这里的天平并不是一架实物天平，而是一种抽象的数学化的模拟天平。因为一旦拿一架实物天平进行实验，结果是唯一的，要么平衡，要么不平衡，这种情况下不会出现“假如天平平衡……假如天平不平衡……”的情况。在运用推理解决问题的过程中，实际上是用头脑中建立的天平表象，反复地进行逻辑推理。虽然口头和文字表达可以说明思维过程，但当物品总量增多时，推理的步骤也相应增加，表述起来显得冗长烦琐。而使用直观图或流程图，配以相应的文字说明，可以比较简洁而又清晰地表述出逻辑推理的过程，使学生逐步学会用数学化的方式表达思维过程，有意识地培养思维的条理性、逻辑性和准确性。
《数学广角──找次品》重难点突破
理解并解决简单的“找次品”问题，充分经历“比较——猜测——验证”的过程，归纳出“找次品”的最优策略，感知逻辑推理的数学思想方法
突破建议：
1
．从简单问题入手，理解找次品的含义，并用直观方式清晰地表达推理过程
学生在本单元学习之前很少接触“找次品”问题，没有相关的学习与生活经验。而教材中的“次品”与日常生活中提到的“次品”有所不同：它指从外表看完全相同的零件，其中重一些或轻一些的那一个就是“次品”。首先，让学生认真读题，充分理解题意，理解“找次品”的意思，了解“正品”“次品”的含义，丰富生活经验。其次，可以从2
个零件开始，其中有1
个较重的次品，只要把2
个零件放在天平两端，天平一定不平衡；接着3
个零件中有1
个较重的次品，任意取2
个放在天平两端，天平有可能是平衡的，也有可能是不平衡的。非常重要的一点，这里所指的天平并不是一架实物天平，而是利用天平平衡原理抽象出的数学化形式的天平，借助它进行逻辑推理。说理时，引导学生尽量用规范的语言“如果天平平衡……如果天平不平衡……”来表述。在此基础上，让学生把推导的过程用直观图或流程图辅以文字说明来记录和推导，这一点尤其重要。
2
．充分经历“比较——猜测——验证”的探究过程，理解找次品的最优策略
“至少称几次能保证找出次品”是理解的难点，这里要让学生理解“能保证”是指每一种可能的情况都要考虑，“至少”就是指在保证一定能找出次品的各种方法中称量次数最少的那种方案。“找次品”的最优策略有两个要点：一是把待测物品分成三份，二是尽量平均分。教学时从“8
个”的情形开始，通过小组合作的方式，让学生将推理过程用直观图清晰、简洁地表示出来，然后将找次品的不同方案记录下来。从8
个零件中找次品，学生会很自然地想到平均分成两份（4
，4
），但会发现运用这种分组方法称的次数不是最少的，分成3
份（3
，3
，2
）的方法才能使称的次数最少。使学生体会到只有将次品确定在更小的范围内，称的次数才会越少。有了在8
个零件中找次品的经验，接下来处理在9
个零件中找次品的问题时，受天平平衡原理的暗示，学生会自然想到（4
，4
，1
）和（3
，3
，3
）的分法。把两种方案进行对比，感受到分成三份的情况中，平均分的方法称的次数最少。如果不能平均分呢？再去研究在8
个零件中找次品的最少次数，会发现尽可能平均分可以使称的次数最少。最后将此规律应用于10
个、11
个零件的情形加以验证。层层递进，逐渐感知理解找次品的最优策略。
3
．关注个体差异，注重“说”的训练，初步感受“化归”思想
通过练习进一步理解巩固找次品的问题，在练习中要对学生进行分层要求。在找次品的过程中，允许学生借助直观学具推理、用直观图或流程图直接推理、用口头叙述。让学生多“说过程”，通过说体会到“尽可能将待测物品平均分成三份”的最优策略，培养逻辑思维推理能力。有了例题的学习经验，学生在练习时就可以直接利用前面已有的结论。如“做一做”中将28
瓶盐水分成三份（9
，9
，10
），称一次后就转化为“从9
个或10
个物品中找次品”的已学知识，在练习二十七第4
题15
盒饼干中找次品也同样可以转化为“从5
个物品中找次品”的知识。用化归的方法可以解决从更多数量的零件中找次品的问题，在此基础上，可以适当拓展，引导学生探究找次品需要称量的最少次数和零件总数目之间的关系。
《找次品》教学设计
沂堂镇中心小学
郑凤君
一、教学目标
（一）知识与技能
利用天平，结合观察、猜测、图示、推理等活动，理解“找次品”问题的基本原理，发现解决这类问题的最优策略。
（二）过程与方法
以“找次品”活动为载体，经历由多样到优化的思维过程，培养学生的优化意识。
（三）情感态度和价值观
感受数学在日常生活中的广泛应用，发展学生的应用意识和解决实际问题的能力。
二、教学重难点
教学重点：探究解决“找次品”问题的最优策略。
教学难点：用图示或文字表示找次品的过程。
三、教学准备
天平，多媒体课件。
四、教学过程
（一）创设情境，引入原理
1
．情境导入，揭示课题。
（1
）课件出示例1
：有3
瓶钙片，其中一瓶少了3
片。你能设法把它找出来吗？
（2
）理解题意。
学生可能会说：倒出来数一数，或掂一掂、称一称……
教师根据学生的回答解释：生产或生活中有时需要从几个物体中找特别重或特别轻的一个，在数学中我们把这类问题称为“找次品”问题。
如果两个物体的差异很大、很明显，可以用数一数或掂一掂的方法。如果差异不明显或物体数量很多（例如有30
瓶钙片），用数一数或掂一掂的方法可能不准确或不方便，此时可以用天平帮助我们快速找到“次品”。
【设计意图】理解问题是分析问题和解决问题的前提，当学生面对例1
，首先想到的肯定是数一数或掂一掂，因为他们缺少使用天平的生活经验，所以让他们了解“数”和“掂”的局限性是非常有必要的。
2
．合情推理，理解原理。
（1
）了解天平的使用方法。
教师出示天平，并让学生想象：如果在天平的左边放一支粉笔，在天平的右边放一本数学书，天平会怎么样？为什么？
学生回答：天平的左边高，右边低。因为数学书比粉笔重。
教师继续追问：如果在天平的左边放一本数学书，在天平的右边也放一本数学书，现在天平会怎么样？为什么？
学生回答：天平会平衡，因为左右两边一样重！
教师根据学生的回答，在课件中出示：天平平衡，两边一样重；天平不平，下沉那边重。
【设计意图】学生没有使用天平的经验，教师引导学生通过想象和观察丰富表象扫除学习障碍，为进一步学习找次品做好准备。特别地，对两种情况的概括有利于学生探究找次品的方法。
（2
）如何利用天平找次品？
如果只有两瓶钙片，放在天平上称一次就知道哪一瓶少了3
片，因为它会轻一点。现在有3
瓶，那么要称几次呢？为什么？
学生：称一次。左右两边各放1
瓶，如果天平平衡，剩下的那瓶就是次品；如果天平不平衡，天平翘起的一端所放的是次品。
教师分别演示天平达到平衡和出现不平衡的两种情况，请同学进行判断并说明理由。
【设计意图】根据天平的情况推断出剩下一瓶的情况，是解决“找次品”问题的关键。此处将实验演示和语言表达结合起来，帮助学生理解原理。
3
．交流图示，掌握方法。
你能想办法把用天平找次品的过程，清楚地表示出来吗？
（1
）可以用一个“△”加一条短横线表示天平，用长方形表示钙片。
（2
）为了方便，还可以给每瓶钙片加上编号。
学生完成后，将作品通过实物投影仪进行展示交流。
【设计意图】图示是对问题进行抽象、概括的一种方式，通过图示使找次品的方法具有概括性，同时也可以培养学生的抽象思维能力。在例1
教学后及时进行方法的总结，可以分散本课的难点，有利于学生发现解决“
找次品”
问题的最优策略。
（二）探索规律，优化策略
1
．理解题意。
（1
）课件出示例2
。
8
个零件里有1
个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？
（2
）大胆猜测。
教师：至少称几次能保证找出次品？
学生：如果运气好一次就能找到次品，所以至少一次。
学生：一次不能保证找出次品，因为如果运气不好，就找不到次品了。
学生：每次称2
个零件，4
次保证找出次品。
教师：“至少称几次能保证找出次品”是什么意思？
学生：既要保证找出次品，又要次数最少。
【设计意图】这个讨论是非常必要的，学生第一次遇到这类问题，可能不能兼顾两端，说“一次”的同学忽视了“保证”，说“4
次”的同学没有考虑到至少。通过同学间的互相交流，否定错误，澄清认识，确定研究方向，在探究、解决问题的过程中不走错路，少走弯路，有利于课堂教学目标的实现。
2
．探索规律。
（1
）分组探究，并将探索的情况填入下表。
（2
）全班交流。
①分别请称4
次、3
次、2
次的小组代表介绍本组的方法（此时学生对使用复杂的图示介绍方法可能还有困难，教师可以根据学生的回答帮助学生进行图示，为学生做出正确示范）。
②每次每边称1
个的小组为什么需要的次数比较多？
学生：每次称的零件数量太少。
③每次每边称4
个的小组为什么反而不如每次每边称3
个的小组完成得快？
学生：每次每边称3
个，称一次就可以将次品确定在更小的范围内。
【设计意图】问题②和问题③迫使学生去思考采用不同方法造成次数不同的原因，避免学生知其然而不知其所以然。因为偶然性因素的影响，学生不太容易发现“尽量三等分”这个最优化的策略。此时可以引导学生回顾例1
，发现利用天平不仅可以对天平两端的零件进行判断，而且可以对没有称量的那一部分做出判断。
（3
）概括最优化策略。
①如果9
个零件中有1
个次品（次品重一些），至少称几次能保证找出次品？怎么称？
学生：平均分成三份，每边3
个，如果天平平衡，次品在剩下的3
个零件中；如果天平不平衡，次品在天平下沉一端所放的3
个零件中。然后再每边称1
个，如果天平平衡，次品就是剩下的那1
个零件；如果天平不平衡，次品就是天平下沉一端所放的那个零件。
②你发现什么规律？
学生：将所有零件平均分成三部分，保证找到次品需要的次数最少。
③用你发现的规律找出10
个、11
个零件中的1
个次品（次品重一些），看看是不是保证找出次品的次数也是最少的？
先让学生小组讨论交流，并将找的过程用图示法记录下来，最后借助实物投影与全班进行交流。
【设计意图】通过两次操作得出结论属于不完全概括，属于猜测，而且在小学阶段也无法严密证明，只能通过大量的事实加以验证。验证的过程既可以加深理解，也可以提升学生的运用水平，并通过交流提高熟练程度。
（三）应用知识，解决问题
1
．5
瓶钙片中有1
瓶是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。
2
．有15
盒饼干，其中的14
盒质量相同，另有1
盒少了几块。如果能用天平称，至少称几次可以保证找出这盒饼干？
教师提示：将15盒饼干三等分，每份5盒，称一次可以确定那盒少了几块的饼干在哪5盒当中。然后参考前一题的方法找出这盒饼干。
3
．有28
瓶水，其中27
瓶质量相同，另有1
瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水？
教师提示：将28瓶水按照9瓶、9瓶、10瓶分为三份，称一次可以确定这瓶盐水在哪一份当中。如果是在某个9瓶当中，则继续三等分找出这瓶盐水；如果在10瓶当中，可以考虑按照3瓶、3瓶、4瓶的方法继续分组，找出这瓶盐水。
【设计意图】这一环节中对练习二十七中的练习与“做一做”的顺序进行了微调，是为了体现由易到难的教学顺序。数量越大，操作和思考的过程就越复杂，对学生而言难度也越大。特别是例2
后面的“做一做”对学生而言是有难度的，一是因为要称4
次，二是因为28
不能平均分成三等份，所以进行了调整。
（四）课堂小结，拓展延伸
1
．课堂小结。
（1
）今天研究了什么问题？
（2
）找次品的最优化策略是什么？
2
．知识拓展。
今天我们研究的问题都是已知次品比较重或比较轻，如果不知道它比较重还是比较轻，你还能找出次品吗？请有兴趣的同学回家思考。
【设计意图】教材中的“找次品”是一种理想化的问题，把不知次品轻重的问题留给学生思考，给学生更大的想象空间，可以使学有余力的学生思维能力得到更大的发展。
