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【集体备课】六下《数学思考》

2016-06-05 06:08阅读：

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六年级数学广角集体备课
主备人：沂堂镇中心小学 刘庆英
参备人：六年级数学教师
指 导：沂堂镇中心小学 王永胜
《整理与复习──数学思考》教材分析
本节教材的主要内容有：利用数形结合找规律、列表推理、等量代换、简单的几何证明，都是发展学生逻辑推理能力的典型素材。四个例题的具体内容与对应推理类型如下。
例1
 找规律
 合情推理
例2
 列表推理
 演绎推理
例3
 等量代换
例4
简单的几何证明

从表中不难发现，这四个例题，素材不同，形式各异，但是教学内涵是一样的，那就是其中蕴含的推理的思想方法。实际上，本套教材从二年级起每册安排“数学广角”单元，作为数学最基本的思想──推理，教材一直是有步骤、有层次地进行呈现：例如，三年级下册的排列组合、四年级下册的鸡兔同笼，可让学生体会观察、归纳、枚举等合情推理的方法；二年级下册的逻辑推理、六年级下册的鸽巢问题等内容则让学生学习简单的演绎推理的方法。正是在此基础上，教材在六下的整理和复习阶段，再次设置相关内容。希望通过这些内容的教学，让学生在推理方面得到更多的训练，进一步发展逻辑推理能力和解决问题的相关能力。
一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》下同）的主要区别
与实验教材相比较，本节教材在编写上有了较大调整，主要表现在以下几个方面：
（一）《义务教育数学课程标准（2011年版）》将小学教育各学段的内容统一划分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域。实验教材把“数学思考”编排在“数与代数”一节中。新教材在四大领域的框架基础上，将“数学思考”编排成独立的一节，凸显了新教材对数学思想的重视。
（二）删除实验教材渗透乘法原理的例6“选送节目”，增加本教材例3“等量代换”和例4“简单的几何证明”两个例题。这样的编排以合情推理、演绎推理为载体，让学生经历发现规律、应用规律的过程，感受简单的数学证明，更系统地体会和掌握了数学的基本思想和方法。
（三）新教材对数学思想和方法的作用进行了更明确的诠释，如在一开始就指出“数学思想和方法可以帮助我们有条理地思考，简捷地解决问题。”而后引导学生回忆“你能举例说一说你知道哪些数学思想和方法吗？”调动了学生的原有认知，为学习新知奠定基础。
（四）增加了例1、例2后“做一做”的习题，有利于学生理解巩固数学思考，增强应用意识。
二、教材例题分析
（一）找规律
例1要求平面上几个点可以连多少条线段，让学生通过寻找增加的点数和增加的线段数之间的关系，是一个以几何内容为载体逐步发现规律的例题。此题的编排目的是为了让学生通过动手操作、观察比较，归纳得出其中的规律，推理出两者的关系，发展合情推理思想。
例题以“6个点可以连多少条线段？8个点呢？”为例，让学生在尝试初期感受连线的混乱，从而产生“从简单入手”的自主需求，同时也经历“化繁为简”的数学思考过程。而引导学生“从2个点开始，逐渐增加点数，找找规律”，让他们在增加点的同时，有顺序地连线，并记录线段增加的条数，有利于学生理解其中的原理，逐步发现规律。而将不同点数连成的线段数用算式表示出来，可使规律进一步显现并清晰，为学生表述规律提供支撑。“根据规律，你知道12个点、20个点能连多少条线段吗？请写出算式。”既是规律的运用，也可以借此提炼计算方法。“想一想，n个点能连多少条线段？”可以提升学生的数学表达能力，发展代数思想。“做一做”是经典的“正方形数”（也就是“平方数”），每条边上棋子数的平方就是棋子的总数。
（二）列表推理
例2通过列表的方法，逐步缩小与A同班的人的范围，最终确认唯一符合要求的人。这种不断排除矛盾、推出必然结果的思维方式，是一种演绎推理。
例2对于学生来说是一个比较复杂的逻辑推理问题，教材引导学生“用列表的方式试一试”，意图借助列表逐步缩小范围，找到答案。此题让学生体会逻辑推理的常用策略“排除法”。在表格中，“1”和“0”分别代表“到会”与“缺席”。通过列表的方法，可以直观、清晰地呈现已有信息，有利于学生整体把握信息之间的联系，推理得出结论。随后引导学生“想”介绍了依据表格完整推理出A、D必然同班的过程，其实质就是两人不可能同时参会，也不会同时不到会。依据这种思路，学生可以自己推理出B、C分别与谁同班，进一步感受列表分析的优势。教材中的“做一做”是新增加的内容，既可以列表解决问题，也可以直接推理。例如，因为丁叔叔不是工人，那么他只能是教师或军人。如果他是教师，那么他和王阿姨就职业相同，这与“只有刘阿姨和李叔叔职业相同”产生矛盾，由此可以得出丁叔叔是军人的结论。
（三）等量代换
例3是等量代换的内容。等量代换指的是把一个量用与它相等的量去代替。这种思想是演绎推理的基础，在《几何原本》中，第一条公理就是“等于同量的量彼此相等”。
例3，利用等量代换进行推理，为中学学习解方程做准备。第（1）小题实际上就是解二元一次方程组的代入消元法。寻找两个式子中的共同量，通过代入求值，就是一个演绎推理的过程。例3的第（2）小题，以一个简单的数学问题，引导学生经历有理有据地进行推理的过程，感受推理的严谨性。此题的推理过程，已初显“形式化证明”的样子，也是为例4的学习进行铺垫。此题中，等式两边同时减去☆，利用的是等式的性质。而最后一步，实质是利用了等式的传递性（即：若a=b，b=c，则a=c）进行推理，这是一种关系推理。这些性质就是数学证明中最常用的“公理”。
（四）简单的几何证明
例4是一道经典的用演绎推理来进行证明的几何题。
例4实质上是一道初中学习所要接触到的“对顶角相等”的证明题目。但是此处的编排，并非真正意义上教学的“几何证明”，而是仅仅让学生初步感受运用一些“公理”（如等式的性质）进行数学推理的过程。例3为例4的推理提供了知识基础，同时也需要学生综合运用平角的概念、三角形内角和是180°等知识解决问题。不要求学生学会书写规范严谨的证明过程，但需要学生学会用“说理”的方式证明结论。
以“推理”为主线的这几个编排内容，可以让学生系统经历从一般到特殊（归纳）、从特殊到一般（演绎）的思维发展过程，深刻感受推理的价值。教材的编排注重体现思维发展的过程，并在多处呈现一些启发式的问题，给予醒目恰当的提示、点拨和指导，引导学生经历并理解推理的过程，帮助学生掌握分析方法、积累学习经验，形成思想方法。
《整理与复习──数学思考》重难点突破
在学生学习数学的过程中，任何看似浅显的数学知识后面都蕴含着丰富的数学思想。让学生在解决问题的过程中经历数学思考的过程，体会掌握其中的数学思想，是重要的教学目标。
一、找规律
突破建议：引导操作，经历中感受思想。
本单元的内容的重难点之一，是让学生发现隐藏在题目中的规律，以及经历发现结论的过程。例1找规律的教学，重点是学习归纳推理的思想，使学生通过观察直观图，发现点与点之间的线段数量与点数之间的变化模式。从具体情境中发现模式，并将这一模式应用于更一般的情况，这一过程是培养归纳推理思想的重要途径。例题的可操作性比较强，对学生的吸引力也很大。因此在教学中可以让学生动手试一试，在尝试的过程中慢慢发现突破的方向和解决问题的策略。只有自己实践过，探究过，积累的经验才会更加丰富，对思想的感悟才会更加深刻。教师可直接呈现“8个点可以连多少条线段？”的问题，让学生自己动手画一画、数一数。大部分学生都会遇到数不清、混乱的情况。学生经历了连线与数数的过程，会感受到无序带来的困扰，才会产生有序思考、从简单情况入手的愿望，从而感悟“化繁为简”的必要性。在反馈后，教师可以提出“点数增加与线段条数增加有什么关系？”的问题，组织学生发现教材中用“虚线表示的增加线段与点数”的联系，进而推导出规律。这样的过程就是思维逐步发展、思想方法逐步积累的过程。
二、列表推理
突破建议：重在引领，释疑中掌握方法。
教学的有效性和教师的组织、引导密切相关。本单元的内容相对思维含量较高，对于学生难度较大，在一些节点处和关键处，特别需要教师发挥这方面的作用。对于例2问题的呈现，学生可能思维混乱，甚至对题意理解不清从而无从下手，也很难想到列表的方法。此时，教师应重视引导，可以用“为了更清楚地表示他们的关系”为由引出列表，并先示范填上第一次的情况（符号也可以用√和×），并进行简要分析。如此一来，学生看到了一种解决问题的好策略，就产生了模仿使用的愿望，后续的填写可让学生自己进行，使学生的学习得以朝着目标有序行进。在学生填写完成后，教师再指导学生从不同角度经历推理的过程，从而在解决问题的过程中感受列表法的优越性。当然，例2除了让学生掌握列表这一特殊问题的问题解决策略，更重要的是让学生在解决问题过程中掌握逻辑推理的思考方法。
三、等量代换与简单的几何证明
突破建议：依托直观，从感性走向理性。
例3与例4，学生有能力自己解决，关键在于让学生把思考的过程表达清楚。面对“○+☆=160，◎+☆=160 ”和例4的两条直线相交，学生凭经验与直觉，就会得出○ =◎及∠1=∠3的结论。显然，教师要依托学生的这种直观经验，也应立足这样的基础上展开教学。然而，倘若学生不能依据条件用有逻辑的数学语言表达清楚，就没有达到例题编排的目的。所以更重要的是，基于学生已经得出的结论，追问“为什么？”。如此，学生的思维才可能走向理性，才能实现应有的教学目标。因此，在学生解释的过程中，教师应帮助学生自主梳理推理的过程，如：依据是什么？为什么可以这样推理？当然，实际教学中，不要求学生会书写规范严谨的证明过程，但需要学生会用“说理”的方式证明结论，这种方式实质上是帮助学生从直观的感性走向思考的理性。
“数学思考”教学设计
沂堂镇中心小学 刘庆英

【教学内容】
《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第91页例4及练习十八第1～3题。
【教学目标】
1．通过学生观察、探索，使学生掌握数线段的方法。
2．渗透“化难为易”的数学思想方法，能运用一定规律解决较复杂的数学问题。
3．培养学生归纳推理探索规律的能力。
【教学重、难点】
引导学生发现规律，找到数线段的方法。
【教具、学具准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、游戏设疑，激趣导入。
1．师：同学们，课前我们来做一个游戏吧，请你们拿出纸和笔在纸上任意点上8个点，并将它们每两点连成一条线，再数一数，看看连成了多少条线段。（课件出现下图，之后学生操作）
【集体备课】六下《数学思考》
2．师：同学们，有结果了吗？（学生表示：太乱了，都数昏了）大家别着急，今天，我们就一起来用数学的思考方法去研究这个问题。（板书课题）
【评析】巧设连线游戏，紧扣教材例题，同时又让数学课饶有生趣。任意点8个点，再将每两点连成一条线，看似简单，连线时却很容易出错。这样在课前制造一个悬疑，不仅激发了学生学习欲望，同时又为探究“化难为简”的数学方法埋下伏笔。
二、逐层探究，发现规律。
1. 从简到繁，动态演示，经历连线过程。
师：同学们，用8个点来连线，我们觉得很困难，如果把点减少一些，是不是会容易一些呢？下面我们就先从2个点开始，逐步增加点数，找找其中的规律。
师：2个点可以连1条线段。为了方便表述我们把这两个点设为点A和点B。（同步演示课件，动态连出AB，之后缩小放至表格内，并出现相应数据，如下图）
【集体备课】六下《数学思考》
师：如果增加1个点，我们用点C表示，现在有几个点呢？（生：3个点）
如果每2个点连1条线段，这样会增加几条线段？（生：2条线段，课件动态连线AC和BC）那么3个点就连了几条线段？（生：3条线段）
师：你说得很好！为了便于观察，我们把这次连线情况也记录在表格里。（课件动态演示，如下图）
【集体备课】六下《数学思考》
师：如果再增加1个点，用点D表示（课件出现点D）现在有几个点？又会增加几条线段呢？根据学生回答课件动态演示连线过程）那么4个点可以连出几条线段？（生:4个点可以连出6条线段。课件动态演示，如下图）
【集体备课】六下《数学思考》
师：大家接着想想5个点可以连出多少条线段？为什么？（引导学生明白：4个点连了6条线段，再增加1个点后，又会增加4条线段，所以5个点时可以连出10条线段。课件根据学生回答同步演示，如下图）
【集体备课】六下《数学思考》
师：现在大家再想想，6个点可以连多少条线段呢？就请同学们翻到书第91页，请看到表格的第6列，自己动手连一连，再把相应的数据填写好。（学生动手操作，之后指名一生展示作品并介绍连线情况，课件演示：完整表格中6个点的图与数据）
【评析】让学生从2个点开始连线，逐步经历连线过程，随着点数的增多，得出每次增加的线段数和总线段数，初步感知点数、增加的线段数和总线段数之间的联系。
2. 观察对比，发现增加线段与点数的关系。
师：仔细观察这张表格，在这张表格里有哪些信息呢？
（引导学生明确：2个点时总条数是1，3个点时就增加2条线段，总条数是3；4个点时增加了3条线段，总条数是6；5个点时增加了4条线段，总条数是10；到6个点时增加了5条线段，总条数是15。）
师：那么，看着这些信息你有什么发现吗？
（学生尝试回答出：2个点时连1条线段，增加到3个点时就增加了2条线段，到4个点时就会再增加3条线段，5个点就增加4条线段，6个点就增加5条线段。每次增加的线段数和点数相差1。）
师也可以提问引导：当3个点时，增加条数是几？（生：2条）那点数是4时，增加条数是多少？（生：3条）点数是5时呢？（4条）6时呢？（5条）那么，你们有什么新发现？
师小结：我们可以发现，每次增加的线段数就是（点数－1）。
【评析】在经历了丰富的连线过程之后，整体观察和对比表格中的数据，从而进一步发现每次增加条数就是点数－1，为后面推导总线段数的算法做好铺垫）
3．进一步探究，推导总线段数的算法。
（1）分步指导，逐个列出求总线段数的算式。
师：同学们，我们知道了6个点可以连15条线段，现在你们有什么办法知道8个点可以连多少条线段吗？
（尝试让学生回答，学生可能会从7个点连线的情况去推理8个点的连线情况。）
师追问：如果当点数再大一些时，我们这样去计算是不是很麻烦呢？
师：我们先来看看，3个点时，可以连多少条线段？你是怎么知道的？
生：2个点连1条线段，增加一个点，就增加了2条线段，1＋2＝3（条），所以3个点就连了3条线
（贴示黑板条：

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