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渐伸线与渐屈线

2011-11-13 21:24阅读:
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渐伸线(involute)(或称渐开线(evolent))和渐屈线(evolute)是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线,曲线B是曲线A的渐屈线。
在曲线上选一定点S。有一动点PS出发沿曲线移动,选在P的切线上的Q,使得曲线长SP 和直线段长PQ 相同。渐伸线就是Q的轨迹。
若曲线B有参数方程 r:\mathbb R\to\mathbb R^n,其中 |r^\prime(s)|=1
,曲线A的方程为 t\mapsto r(t)-tr^\prime(t)
曲线的渐屈线是该曲线每点的曲率中心的集。
若该曲线有参数方程 r:\mathbb R\to\mathbb R^n|r^\prime(s)|=1),则其渐屈线为
s \to r(s)+{r
每条曲线可有无穷多条渐伸线,但只有一条渐屈线。

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