几何直观和空间观念的差异及教学侧重点
2018-08-30 10:50阅读：
几何直观和空间观念的差异及教学侧重点
几何直观作为核心名词，2011年底首次出现在小学阶段（尽管2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》早就明确提出了针对“几何直观”的要求“培养和发展学生的…几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”）；同时，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（《标准（2011年版）》）以下简称首次将几何直观与空间观念、推理能力并列，成为“图形与几何”领域的核心目标的三大组成要素。
几何直观与推理能力差异是显而易见的。但是，几何直观与空间观念究竟是什么关系？在教学中，如何有针对性地培养学生的几何直观与空间观念？这些问题都是小学数学领域亟待理清的问题。本文就此阐述。
一、几何直观与空间观念的含义差异分析
正如《标准（2011年版）》指出的，“直观与推理是图形与几何领域的核心目标”，其中，“空间观念”是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等”，“几何直观”是指“利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。特别地，空间观念的培养要贯穿整个数学学习过程中”。
我们认为，“严格意义上讲，这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是针对几何直观的含义的诠释
”，即不是针对
“几何直观
”的明确定义。
对此，我们可以这样定义几何直观：
几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。
几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，因而，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一。
作为“图形与几何”的核心名词，几何直观与空间观念分别从不同的角度涵盖了几何学习的重要目标，二者有局部的差异，但是，各有侧重。
（一）二者的侧重点非常明显
几何直观通常是在有背景的条件下进行的，而借助几何直观“看”出来的结果，往往需要经过逻辑推理的验证。而空间观念侧重于“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”，“描述图形的运动和变化”，“依据语言描述画出图形”等等，这些活动未必必须凭借看得见、摸得着的真实图形，而可以凭借语言、头脑的想象物等等。
不仅如此，几何直观侧重利用图形整体把握问题，而空间观念侧重于刻画学习者对于空间的感知和把握程度，前者更接近应用层面，可以归为运用图形的能力，后者侧重于几何学习对学习者带来的变化和发展。
（二）二者触及的领域各有侧重
几何直观侧重于利用图形整体分析和把握数学问题，而这里的问题几乎涉及数学的各个领域，而空间观念大多局限在“图形与几何”领域——虽然有时触及几何与数学的其他分支学科的交叉领域。
（三）二者在若干局部领域具有交叉性、重叠性
即，对于凭借图形分析其对应的实际物体，二者具有重叠部分，几何直观侧重于整体把握问题、分析解决相关的问题（虽然问题未必都是几何问题），而空间观念侧重于看到图形想到事物，能够进行图形与其相关事物之间的转换等。
（四）对于学生的形象思维的发展，二者共同发挥作用
在日常教学中，我们应该帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。帮助学生逐步形成初步的几何直观，感受几何直观的作用。
特别地，就整个义务教育阶段而言，推理能力的培养必须以学生已有的几何活动经验、几何直观为先导，但必须强调概念或观念的明确定义，以及几何量的代数运算。而学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而逐步形成几何推理。当然，在小学阶段，推理能力属于渗透，而不是重点培养，但是，这是整个九年发展推理能力的必不可少的阶段，属于奠基性工作。
二、几何直观与空间观念的作用、价值的差异分析
几何直观属于直观感知基础之上所形成的理性思考所致，是学习者对于数学对象的几何属性（或与几何属性密切相关的一些属性）的整体把握和直接判断的能力；
同时，几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，既有相对丰富的经验积淀，更有经验基础之上的理性的概括和升华。
（一）二者都是图形与几何领域长期学习的积淀所形成的结果，具有连续性
1．几何直观需要长期的积淀，即利用图形、采取整体思维的方式把握问题的本质，逐渐形成针对几何图形（及其等价量）的数学直观。
2．长期从事图形与几何的操作活动，并善于分析几何活动要素之间的关系，可以逐步形成空间观念。同时，空间观念的发展具有（儿童发展的）时节性，已有的研究表明，义务教育阶段是发展儿童空间观念的最佳期，一旦错过，几乎无法修复或者重新发展。
其实，几何的启蒙活动应该借助探索、研究、分析、讨论生活中的真实形体，充分使用学生原有的、处在生活经验状态的几何认知，熟练地描述与表征周围的环境。这些实验、观察、探索的活动需要不断地安排在不同的学习层次中，探索形体的要素、发现性质、找出形体间的关系，让学生透过有趣的操作实践活动更多地了解几何世界，促进他们几何思维的发展。
（二）二者都具有一定的逻辑性
几何直观属于从整体的视角直接把握问题的本质，其间需要摒弃大量无关的次要信息，而把握核心要素之间的内在关联，其逻辑的成分显而易见；
与此相对，空间观念的各个成分几乎都涉及逻辑成分，无论是实物与其相应的图形之间的逻辑关系，还是图形之中的各个要素之间的关系，无论是二维、三维图形之间的转换，还是将复杂的图形与其基本图形之间的关系，无论是根据物体特征抽象出几何图形，还是想象出物体的方位及其相互的位置关系，无论是描述图形的运动和变化，还是依据语言的描述画出图形，都或多或少地涉及逻辑因素。
（三）二者具有密切的关联性
作为几何学习的重要目的，无论是几何直观，还是空间观念，都深深融入学生的几何学习活动之中，而这些学习与学生亲身参与的几何活动交织在一起，在许多情况下几乎无法严格区分。虽然空间观念、几何直观都有先天的成分，但是，其实质性的发展都是在后天完成的，同时，二者的发展相互制约、相互促进。
1．空间观念的发展对于几何直观的发展具有重要的促进作用，并构成几何直观形成的重要基础（虽然不是唯一基础，几何直观发展的另一个重要基础，就是整体思维方式的形成，这需要适度的抽象水平，能够撇开无关要素、单刀直入把握要害。
2．几何直观的发展对于空间观念具有重要的强化作用。
中小学数学中的几何直观具体表现为四种基本形式“实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观”。这些不同层面的几何直观其实与空间观念的发展密切联系在一起：
在实物直观（即实物层面的几何直观）阶段，学生借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，以此作为参照物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断（的一种能力），与其同时，学生也在渐渐地经历图形抽象的过程，空间观念的“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”“依据语言的描述画出图形等”等成分不断发展。
在简约符号直观（即简约符号层面的几何直观）阶段，学生在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象而形成半符号化的直观，诸如行程问题中的线路图等等，运用这种直观形式，学生可以很好地“描述物体的方位及其相互之间的位置关系”“描述物体的运动和变化”。
在运用图形直观的阶段，学生可以采以明确的几何图形为载体分析处理相关的问题，既可以涉及代数问题，也可以触及几何问题。其中，分析图形的基本要素之间的相关关系，是准确运用图形直观的关键，这恰恰是空间观念的重要成分之一。
作为实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物，替代物直观是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，也可能依托用语言或数学学科表征物所代表的直观形式，对于“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”等等成分的培养具有显著作用。
（四）二者彼此具有不可替代性
作为“图形与几何”领域学习的重要目标，几何直观和空间观念彼此无法替代，几何直观侧重于应用，而空间观念侧重于学习者对于几何对象的把握程度。从而，具有良好的几何直观（能力）就构成检验空间观念的重要指标之一（虽然不是唯一指标）。
三、几何直观与空间观念的培养侧重点及其典型案例分析
1.空间观念需要渗透在“图形与几何”学习的方方面面，而几何直观需要渗透在数学学习的各个领域，特别是，在“数与代数”“统计与概率”“实践与综合”领域。
例如，通过观察、操作等活动，进一步认识三角形、平行四边形、梯形、长方体、正方体等几何形体，利用学生周围常见的事物，引导学生感受和探索图形的特征，丰富图形与几何的活动经验，建立初步的空间观念和几何直观。因而，积累几何活动经验就成为几何教育的一个更加直接的目标和追求。拥有丰富的几何活动经验并且善于反思的人，他的几何直观更有可能达到更高的水平。
与此相对应，借助于恰当的图形、几何模型进行解释，能够启迪思路，帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，而抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个主动思考的机会和揭示经验的策略，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程。
2.几何直观更多地体现在问题解决之中、新知建构的过程之中，而空间观念需要全方位地体现在学生亲身参与几何活动之中。
例如，借鉴俄罗斯L.V.沙雷金和L.N.叶尔冈日耶娃合著的《直观几何》中的做法，通过折纸、摆火柴、走迷宫、镶嵌等操作活动，接触反射与对称、拓扑经验、“七桥问题”、单向曲面、六面体的展开、多边形铺设、坐标与方位、密码通讯等课题，让小学生用直观的方法接触大量的、生动的几何世界，既可以在问题解决之中体会几何直观带来的美妙，又可以在活动之中发展空间观念，开阔学生的数学视野，体验了数学的魅力和情趣。
3.随着年级的升高，几何直观的层次需要逐级提升，从最初侧重于实物直观，逐步过渡到符号直观、图形直观。而空间观念的发展需要从涵盖“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述的实际物体”“想象出物体的方位和相互之间的位置关系”“描述图形的运动和变化”“依据语言描述画出图形”等各个方面，而不可局限在某些方面，比如，从实物到图形的转换。
4.几何直观需要更较高的思维水平，从而，更需要教师在日常教学中不断主动地运用几何直观帮助学生建构自己的数学理解，有意识地培养学生的整体思维方式和数形结合的意识，并帮助学生把握往往起核心的那些基本图形（诸如三角形、正方形等等）。
比如，在统计问题中，可以借助一个圆片代表样本数据1，由此可以很好地理解“移多补少”，进而掌握平均数的概念。这里的“圆片”就是样本数据1的替代物，直观而形象。而如下的代数案例也可以很好地体现几何直观的作用：
【案例】 北师大版3年级上册 第30～31页
“去游乐场——两位数乘一位数进位乘法”
生1：
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生2：我是竖式计算。
（教师在黑板用小棒卡片配合生2讲解竖式计算的方法。）
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用小棒直观图让孩子理解，4×6=24中的2，要加在十位上，这个2在图里就代表24中的那两捆小棒，因为这两捆小棒要先跟上面那四捆小棒相加，整捆加整捆，所以算十位4×1=4还要加上个位进来的2。结合小棒图，给孩子一个直观的感受，孩子更容易理解竖式的算理。
但是，随着学龄的增加，我们要有意识地提高学生几何直观的层次和水平，逐步过渡到图形直观、符号直观的层次。
