体实例协助学生更好地了解效果。
1.σ代数的等价定义
在触及实变函数实际的几种常用教材中(文献[1—3]),对σ代数所给出的定义不尽相反。为了协助学生正确了解概念,本文给出几种定义的等价性证实
,从而加深学生对σ代数的看法,为进一步研讨σ代数的各种性质做好预备。
定义1[1]:设Ω是R中某些集合所组成的集合类。若R∈Ω,且Ω关于可数并运算和差运算是封锁的,则称Ω是R上的σ代数。
定义2[2]:设Ω是R中某些集合所组成的集合类,且满足:
(i)Φ∈Ω;
(ii)若A∈Ω,则A∈Ω;
(iii)若A∈Ω(n=1,2,…),则A∈Ω,则称Ω是R上的σ代数。
定义3[3]:设Ω是R中某些集合所组成的非空集合类。若Ω关于有限并运算和余集运算是封锁的,则称Ω是R上的代数。若Ω是R上的代数并且关于可数并运算封锁,则称Ω是R上的σ代数。
证实 :(1)设Ω满足定义1中的条件。
由于R∈Ω并且Ω关于差运算封锁,则Φ=R-R∈Ω,且当A∈Ω时,A=R-A∈Ω。又由于Ω关于可数并运算封锁,从而Ω满足定义2中的条件。
(2)设Ω满足定义2中的条件。
由于Φ∈Ω,所以Ω是非空集合类。若A∈Ω(n=1,2,…,N),其中N是正整数。令A=Φ(n=N+1,N+2,…),由定义2的条件(i)和(iii)可知,A=A∈Ω,故Ω关于有限并运算封锁。又由定义2的条件(ii)和(iii)可知,Ω关于余集运算和可数并运算封锁,因此Ω满足定义3中的条件。
(3)设Ω满足定义3中的条件。
由于Ω是非空集合类,所以存在R中集合E∈Ω。由于Ω关于余集运算封锁,故E∈Ω。再由Ω关于有限并运算封锁可知,R=E∪E∈Ω。
若A,B∈Ω,由Ω关于有限并运算和余集运算封锁可得,(A-B)=A∪B∈Ω,从而A-B∈Ω,故Ω关于差运算封锁。
又知Ω关于可数并运算封锁,所以Ω满足定义1中的条件。
综上所述,可知定义1、定义2和定义3是彼此等价的。
2.σ代数的性质
在对σ代数停止进一步深化研讨的进程中,将会触及σ代数的很多重要性质,例如σ代数与其它集合运算的关系、σ代数与代数的关系和σ代数与σ环的关系,等等。
性质1:σ代数关于可数交运算是封锁的。
证实
:若A∈Ω(n=1,2,…),则由σ代数关于余集运算封锁可知,A∈Ω(n=1,2,…)。再应用σ代数关于可数并运算的封锁性,则有A=A∈Ω,从而Ω关于可数交运算封锁。
性质2:若Ω是R上的σ代数,则Φ,R∈Ω。
证实 :由定义1和定义2直接可得。
性质3:若{Ω}是R上的一族σ代数,则Ω也R上的σ代数。
证实 :轻易验证Ω满足定义1中的条件。
性质4:设Ω是R上的代数,则Ω是R上的σ代数的充沛必要条件是Ω关于互不相交的可数并运算封锁,即当E∈Ω(n=1,2,…)且互不相交时,有E∈Ω。
证实 :必要性由σ代数关于可数并运算封锁直接可得。
充沛性:设A∈Ω(n=1,2,…),令:B=A,B=A-A,…,B=A-A,…,轻易验证B互不相交且A=B。
由于Ω是R上的代数,故Ω关于有限并运算和余集运算封锁,从而B=A∪A∈Ω,则B∈Ω(n=1,2,…)。应用充沛性的假定条件:Ω关于互不相交的可数并运算封锁,则有A=B∈Ω。所以Ω关于可数并运算封锁,由定义3知,Ω是R上的σ代数。
性质5:设Ω是R上的代数,则Ω是R上的σ代数的充沛必要条件是:若E∈Ω(n=1,2,…)且E?奂E?奂…,则E∈Ω。
证实 :必要性由σWWW.3A3B.COM代数关于可数并运算封锁直接可得。
充沛性:设A∈Ω(n=1,2,…),令:B=A,B=A∪A,…,B=A,…,
轻易验证B?奂B?奂…且A=B。
由于Ω是R上的代数,故Ω关于有限并运算封锁,从而B∈Ω(n=1,2,…)。应用充沛性的假定条件得,A=B∈Ω。所以Ω关于可数并运算封锁,由定义3知,Ω是R上的σ代数。
在文献中给出了σ环的概念,它与我们所研讨的σ代数亲密相关。
定义4[4]:设Ω是R中某些集合所组成的非空集合类。若Ω关于差运算和可数并运算是封锁的,则Ω称是R上的σ环。
注:R上的σ环关于Ω有限交运算和可数交运算都是封锁的。
证实 :由于Ω是非空集合类,所以存在R中集合E∈Ω。由Ω关于差运算封锁可知,Φ=E-E∈Ω。
设E∈Ω(n=1,2,…),由于E=E-E-E,应用Ω关于差运算和可数并运算的封锁性可得E∈Ω,所以Ω关于可数交运算封锁。又由于Φ∈Ω,所以Ω关于有限并运算封锁,同上相似可得Ω关于有限交运算封锁。
性质6:设Ω是R上的σ环,则Ω是R上的σ代数的充沛必要条件是R∈Ω。
证实 :直接由定义1可得。
3.σ代数的例子
由于σ代数的概念比拟笼统,为了让学生坚固 把握
好σ代数的实际,教员需求给出一些σ代数的具体例子以协助学生深化了解概念。
例1:R中一切子集所组成的集合类是R上的σ代数。
例2:{R,Φ}是R上的σ代数。
例3:R中可测集全体所组成的集合类是R上的σ代数。
例4:Ω={E?奂R|E至少可数或E至少可数}是R上的σ代数。
证实 :显然Φ∈Ω。
若A∈Ω,则A至少可数或A至少可数,所以A∈Ω。
设A∈Ω(n=1,2,…)。若A至少可数(n=1,2,…),则A至少可数,故A∈Ω;若存在n使得A至少可数,则由A=A?奂A知A至少可数,故A∈Ω。
因此Ω满足定义2的条件,Ω是R上的σ代数。
例5:若Γ是R上的σ环,则Ω={E?奂R|E∈Γ或E∈Γ}是R上的σ代数。
证实 :由于Γ是R上的σ环,故Φ∈Γ,从而Φ∈Ω。
若A∈Ω,则A∈Γ,或A∈Γ,所以A∈Ω。
设A∈Ω(n=1,2,…)。令A=A,B=A,则A=A∪B。由Γ关于有限并和可数并运算封锁可知A∈Γ,由Γ关于有限交和可数交运算封锁可知B=A∈Γ。再应用Γ关于差运算封锁知,A=A∩B=B-A∈Γ,从而A∈Ω。
因此Ω满足定义2的条件,Ω是R上的σ代数。
例6:若Γ是R上的σ环,则Ω={E?奂R|E∩F∈Γ,?坌F∈Γ}是R上的σ代数。
证实 :显然Φ∈Ω。
若A∈Ω,则A∩F∈Γ,?坌F∈Γ。由Γ关于差运算封锁可知,A∩F=F-A∩F∈Γ,?坌F∈Γ,所以A∈Ω。
设A∈Ω(n=1,2,…),则A∩F∈Γ,?坌F∈Γ(n=1,2,…)。由Γ关于可数并运算封锁可知,A∩F=(A∩F)∈Γ,?坌F∈Γ,从而A∈Ω。
因此Ω满足定义2的条件,Ω是R上的σ代数。
文献资料
本文来自: 计算机毕业网 :
[1]程其襄,张奠宙,魏国强,胡善文,王漱石.实变函数与泛函剖析基础(第二版)[M].北京:初等教育出版社,2003.
[2]周民强.实变函数论(第一版)[M].北京:北京大学出版社,2001.
[3]Gerald B.Folland.Real Analysis;Modern Techniques and Their
Applications 2nd ed.[M].北京:世界图书出版公司北京公司,2007.
[4]陆善镇,王昆扬.实剖析[M].北京:北京师范大学出版社,1997.
资助项目:中国矿业大学(北京)《实变函数》课程树立项目;中国矿业大学(北京)《线性代数》系列课程树立项目。
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