鲍耶与非欧几何（与刺客同署名发表于《数学文化》）
2014-06-16 16:32阅读：
一、欧式几何
欧氏几何是欧几里德于公元前3世纪创立的。欧几里得的《几何原本》是最早用公理化方法建立演绎数学体系的典范，是世界上流传最广、影响最大的一部数学经典之作。欧几里得精心选择了五个公理和五个公设，经过严密的逻辑推理，导出了欧氏几何的全部理论，它所确立的公理化思想是数学的灵魂。所谓公理或公设，指的是不需要证明而加以承认的命题，它具有“不证自明”的特征。
数学家们在研究《几何原本》的历史长河中，第五公设问题成为人们关注的焦点。这条公设是指：在同一平面内，一条直线与另外两条直线相交，如果同一侧的两内角之和小于两直角，则这两条直线必在这一侧相交。数学家们认为，这条公设表述得过于复杂，根本不具备“不证自明”的特征，而且《几何原本》直到第29个命题的证明中才用到它。于是，数学家们自然就想用一种新的思路去处理它。这首先就要解决一个问题，第五公设相对于其它的公理和公设是否是一个独立的命题。如果是的话，就很简单了，只须用一个简明的等价命题去替代它。但是数学家们一直质疑它的独立性，总想利用其它几个公理和公设直接证明它，使它成为一个定理。就为这样一个看似简单的问题，数学家们竟然忙碌了两千多年，在证明它是否具有独立性方面没有取得任何实质性进展。不过在这个过程中，数学家们倒是发现了与第五公设等价的许多命题。其中最简明的一个是普罗克洛斯(Proklos，410～485)提出的：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。由于数学家们难以撼动《几何原本》的理论，一批哲学家和数学家对欧几里得的几何就表示出了绝对的信任。1736年以后，从数学家G．S．克吕格尔(G．S．Kerügel)开始，就陆续有数学家和哲学家公开宣布，欧几里得几何的第五公设相对于其他公设是独立的，是不能被证明的。康德(Immanuel
Kant)认为，欧几里得几何揭示的是“先天的、唯
一的现实空间的概念”。
G．W．F．黑格尔(Hegel)更加认为：欧几里得几何体系已经相当完备，不可能取得进一步的实质性进展了。
数学的发展历史是吊诡的。就在数学家和哲学家们为欧氏几何忙碌而一无所获的进程中，一门完全不同于欧几里得理论的新几何学却诞生了，这就是非欧几何。在非欧几何的诞生过程中，有一位数学家的名字是不能被忘记的，他就是匈牙利数学家雅诺什·
鲍耶（Janos Bolyai）。
二、鲍耶的生平
鲍耶于１８０２年12月15日出生于匈牙利的柯罗日瓦尔（Kolozsvar）。父亲法卡什· 鲍耶（F
Bolyai）是当地著名的一位数学和物理教师，毕业于德国哥廷根大学学习，和“数学王子”高斯是同学，共同的志趣使两人成为关系密切的挚友，分别后经常有书信往来，共同研讨数学学术问题，其中第五公设问题成为他们之间经常交流的一个话题。他的理论思考始终离不开研究欧几里得的《几何原本》，殚精竭虑地为探究第五公设的奥秘，曾经花费了他大半生的心血，但是，最终也没有取得任何有价值的成果，但是，在将欧氏几何的严密逻辑体系拓展到算术、代数和分析的理论上做出了有益的探索。高斯称他为“我所知道的最了不起的人物”。
鲍耶出生在这样的一个知识分子家庭，从小性格开朗，天资聪慧，极具语言和艺术天赋，受父亲的熏陶，对数学学习表现出极大的兴趣，１３岁时即掌握了微积分，并能主动应用掌握的数学知识解决力学问题。鲍耶尤其对欧几里得的几何学情有独钟，并且独立发现了一条重要定理：任何两个面积相等的多边形,将其中一个经过有限次分割，一定能够重新拼接成与另一个全等的多边形。
1818年，鲍耶１６岁时，父亲打算把他送到自己的母校哥廷根大学，在高斯身边学习数学，但是，未能得到高斯的应允。于是，他只好通过考试，以优异成绩考入维也纳皇家工程学院学习。1820年，大学二年级时，18岁的鲍耶出于对《几何原本》的酷爱，开始利用课余时间潜心研究第五公设问题。
最初，他猜想第五公设是能够用欧氏其他公设和公理来证明的。经过努力，在无法证明这个猜想的情况下，他对自己所作的前期研究工作进行了认真的反思，开始尝试使用归谬法证明。这时，他把这个设想写信告诉了自己的父亲。父亲在几何研究方面积累了丰富的经验和教训，鉴于自己学术研究的前车之鉴，他非常担心儿子重蹈覆辙，当即回信，规劝儿子不要陷入到这项徒劳无益的工作中。信中说：“希望你从第五公设的研究上止步，你即使耗费所有的时间，也不可能证明这个问题……，我的青春和快乐已经空抛在这里。这个地狱将葬送无数个像牛顿一样聪明的巨人。这个漫漫长夜永远不会出现黎明。”
但是，鲍耶没有服从于父亲的劝阻，坚守自己的学术信念。
三、第五公设研究撷英
通过一批杰出数学家的艰辛工作，1733年以后，第五公设的独立性问题似乎已经不再有人怀疑，非欧几何的理论研究已经露出曙光。意大利数学家萨谢利(Girolamo
Saccheri) 和瑞士数学家兰伯特(Johann Heinrich
Lanbert)分别在1733年和1766年，在试图采用归谬法证明第五公设时，产生了一批合乎逻辑的怪异命题，萨谢利认为这些命题与他所感觉到的现实空间不相符合，不能理解直观和逻辑之间的关系，就轻易地以“不合情理”为由否定了自己的研究成果。兰伯特对自己的研究成果进行了一定的思考，认识到一组公理和公设如果是互相独立的，就可以产生一种异样的几何，他甚至猜想他所得到的几何可能在虚半径的球上可以实现，可惜他最终浅尝辄止，没有继续深入研究下去。数学家施威卡特(F．K．Schawikart)受到兰伯特的启发，在1818年向高斯提出，存在两种不同的几何：欧氏几何与假设三角形内角和不是180°的几何。他的外甥托里努斯(F．A．Taurinus)也是一位数学家，对第五公设问题的研究很是痴迷。他循着前辈数学家开辟的方法，用纯粹形式化的方法推导出了所谓的“星空几何”，证明了虚半径r=ρi的球面上成立的公式恰好是他所研究的“星空几何”中的公式。遗憾的是，他认为只有欧氏几何是描述现实物质空间的唯一几何，而“星空几何”只是逻辑上无矛盾而已。他不能想象现实世界上存在这样的空间，因而也像兰伯特一样轻易地否定了自己。
这些顶尖数学家们的固执和僵化，使他们与处在灯火阑珊处的真理擦肩而过。他们都已经明白第五公设的不可证明性，即第五公设相对于欧氏其他公设是独立的。但他们又都没有认识到，就描述物质空间的性质来说，欧氏几何并非是唯一的几何。
四、鲍耶的研究成果
鲍耶刚刚踏进欧氏几何研究大门的时候，还不可能清楚地知道这些研究成果，更不可能读到有关的文献，遑论与这些数学家进行面对面的交流了。因此，鲍耶的研究工作不免也落入前人的窠臼，他的思考轨迹不可能独辟蹊径，而是走上了一条与他们完全一样的道路，直接采用归谬法，从否定第五公设出发，通过逻辑演绎推理，看看能否导出与欧氏几何的其它命题相矛盾的结论来。他当然不可能得到任何与欧氏几何相矛盾的结论，而是推出了一系列欧氏几何里所没有的新命题。进而，鲍耶也认识到，第五公设否命题里的任何一个也都可以成为独立的公设，它和欧氏几何里除去第五公设的其它公理和公设一起，可以构成一个与欧氏几何不一样的独立的新几何。这些成果的取得在当时已经没有任何新意。鲍耶的可贵之处在于没有就此止步，经过继续深入思考探索，仅仅只是向前多跨进了一步，就取得了超越前辈数学家的划时代的成果，他大胆地承认，这种新几何学是成立的，并且毅然称其为“绝对几何”。这标志着鲍耶已经获得了非欧几何的基本原理。深邃的思想往往只比别人多向前跨跃一步。
1822年，鲍耶大学毕业。他是用四年时间学完了七年的课程，而且掌握了多种语言。因为成绩优秀，被留校进行特种军事工程研究。一年后，被征召到军队服役，成为一名军官。这时，21岁的鲍耶经过对自己研究成果的反思整理，他的非欧几何思想已经成熟。
鲍耶用拉丁文完成了论文《空间的绝对几何学》(Appendix explaining
theabsolutely true
Sácnce
ofspace)的写作，独立地建立了非欧几何的整个公理体系，并且从理论上证明了它在逻辑上的相容性。他首先从欧氏几何中剔除了第五公设，建立起不含第五公设的“绝对空间”概念，即在欧氏几何和非欧几何中都成立的那些命题的集合。然后用一条新的“第五公设”（过直线外一点有无数条直线与这条直线平行）代替欧氏几何的第五公设，与其他的公理和公设重新建立起完整协调的公理系统，逻辑地演绎出一系列全新的、彼此相容的命题。这样就像欧氏几何一样，形成了一个严密的几何系统。两者的本质区别和联系在于，过定点和定直线平行的直线有无穷多条。当这无穷多条直线退化为一条时，非欧几何就成为欧氏几何了。从此，非欧几何的思想光芒冲破了笼罩在“第五公设”四周的阴霾，拉开了几何学革命的序幕。
1823年年底，鲍耶惊喜地给父亲去信说道：“我在虚幻之境创造了一个新奇的世界”。他同时把论文寄给父亲，请求父亲帮助审阅出版。但是，父亲对鲍耶的研究成果反映非常冷淡，长期不置可否。
1825年2月，鲍耶又亲自回到家乡柯罗日瓦尔，向父亲详细介绍自己的研究过程和成果，并请求帮助发表自己的论文。父亲的态度依然如故，对儿子阐释的研究成果难以理解，特别对“绝对几何”中的主要定理要依赖于一个任意常数而感觉迷茫，表示不能接受这种所谓“绝对几何学”。
“绝对几何”与欧氏几何的重大不同，明显表现在三角形内角和的差异上。在“绝对几何学”中，三角形的内角和是一个小于两直角π的变量，它随着三角形面积的增大而减小，当面积趋近于零时，它趋近于π。更确切地说，有
三角形ABC的面积=k[π-(∠A+∠B+∠C)]
其中K是取定的一正常数，差π-(∠A+∠B+∠C)称为△ABC的“亏值”，上式表明，三角形的面积与这三角形的亏值成正比，易见当三角形ABC的面积增大时，亏值亦增大，从而内角和减小。
他不相信，那么多卓越数学家都不予认可的东西能成为一种科学理论，他一直认为儿子的数学理论功底浅薄，不可能攻克第五公设问题的。思想僵化的人难以冲破传统观念的束缚，对科学的发展只能起到阻碍作用，这让鲍耶感到非常的失望。
1826年，鲍耶把写好的论文翻译成德文，寄给母校维也纳皇家工程学院的数学教授艾克维尔，请求他给以评审和支持。论文同样也未能引起母校的重视，后来也不了了之，论文还被弄丢了。鲍耶倒是非常执著，他深信真理的光芒总不能被浮云遮蔽。有了坚定信念的支撑，他居然能坚持对父亲进行长年的说服工作，精诚所至，金石为开。1831年，鲍耶再次见到父亲时，父亲终于表示理解了非欧几何的深刻思想，同意将《空间的绝对几何学》作为《附录》，发表在自己刚完成的一本著作里，但是，提出由鲍耶承担相关的印刷费用。这对生活贫穷的鲍耶来说无疑是很大的挑战。为了减少印刷的成本，鲍耶不得不精简自己精心写成的论文，于1832年发表在他父亲的著作《写给好学青年的数学原理》(Tentamen
juventutem studiosam in elementa
matheseos
purae)第一卷的末尾。正文仅有24页。结果，由于论文压缩得过于简洁，内容越加显得抽象深奥，即使让数学家都难以读懂，严重影响了这一伟大思想的传播。
五、鲍耶的悲情故事
为了替儿子争取到一定的学术地位，鲍耶的父亲于1832年2月14日，将《附录》寄给了老朋友高斯，想促使他发表评论意见。然而，当高斯看过鲍耶的论文后，却回了一封意想不到的信。原来，高斯很早也研究过第五公设问题，并且在1816年就得出了与鲍耶相类似的结果。施威卡特这些数学家也向他通报过这方面的研究情报。还是在1829年，高斯在给友人的信中曾经表示，没有勇气发表这方面的研究成果
，担心遭受其他数学家的耻笑。在给鲍耶父亲的复信中，高斯首先称赞鲍耶具有极高的数学天赋，对鲍耶独自取得这样的研究成果感到惊讶，同时表示，不能由自己将鲍耶的理论推介给学术界，因为“称赞他就等于称赞我自己，这些成果与我在三十多年前的思考如出一辙”。高斯是鲍耶从小就崇拜的偶像，但是，鲍耶从来信的字里行间，分明读出了高斯要借他自己在数学界的权威地位，攫取非欧几何发明权的意图。伟人应该具有云水胸襟，高斯在这件事情上有失大家风范，从此，他在鲍耶心目中的高大形象彻底坍塌了。
一连串的无情打击令鲍耶神情沮丧，尤其是论文发表后竟然没有引起任何反响，这极大地挫伤了鲍耶研究数学的兴趣。这一年，刚到而立之年的鲍耶为逃避现实，他毅然全身心投入军旅事业，暗下决心成为一名勇敢的军人。不幸的是他在1833年遭遇了车祸，身体致残，被迫离开了他酷爱的军队生涯。他退役后，父亲逼迫他迁到偏僻的多马尔德(Domald)地区，在一个小乡村凄凉度日。1834年，他与当地一位名叫娃本(R．V．Orbam)的妇女结婚，生有三个孩子，生活贫困潦倒，父子感情冷漠，后来有所缓解，有一段时间他还离开妻室子女，和父亲生活在一起。1856年，他的父亲去世，同年，他与妻子离婚。
事业的坎坷和生活的不幸，并没有彻底消磨掉鲍耶对数学研究事业的热爱。鲍耶在复数理论的研究方面也曾经投入了很多精力。1833年，他获悉莱比锡大学的数学研究机构征询关于“虚量的严格几何构造”的学术成果，他立刻整理投寄了一篇关于虚数理论的学术论文，猜想在复数理论中存在“超复数”，并且构造了“三维复数”的一种表示法，这项成果同样没有引起数学界的关注，后来，数学家哈密尔顿完满的解决了这个难题，建立了成熟的理论。他从此对公开发表数学学术论文感到心灰意冷，虽然一直没有停止数学思考，留下了大量的数学手稿，但是，从此以后，再没有公开发表过一篇数学论文。
鲍耶怀有极深的数学情结，尤其是对非欧几何的思考从未停止。鲍耶甚至还尝试过将非欧几何的理论扩充到立体几何的工作，重点研究过绝对空间中四面体的体积问题。但是，鲍耶一直都不知道，远在几千里之外的俄国有一个叫罗巴切夫斯基(H．И．лобачевский)的数学家，和他做着同样伟大的工作，直到1848年，他获悉罗巴切夫斯基早于他三年，在1829年就发表了非欧几何的研究成果。这件事情激起了他的思想波澜，一度怀疑这是高斯在幕后操纵的闹剧。倒是他的父亲对待这件事情的态度显得洒脱，他写信劝慰鲍耶说：“许多思想都有自己产生的时代。在同一时代它们又在不同的地点被发现，恰似春天的紫罗兰在阳光明媚的大地上到处开放一样”。
1860年1月17日，鲍耶在贫病交加中结束了凄惨的生命。他死于肺病，被埋葬在奥匈帝国的一个偏辟小镇毛罗什瓦萨尔海伊的墓地里。
六、非欧几何理论的确立和影响
鲍耶去世后的几年里，非欧几何的理论在国际数学界仍然时常遭到讥笑和反对。直到1868年，意大利数学家E．贝尔特拉米(Beltremi)利用微分几何的最新研究成果，在现实空间里发现了可以实现非欧几何的一种现实模型，它是形如喇叭状的一种曲面，称为伪球面。非欧几何的理论开始引起了数学界的关注。20世纪初期，非欧几何理论在爱因斯坦的广义相对论中得到证实和应用，同时在粒子微观空间领域研究中也得到证实。数学家们才真正认识到空间形式原来不仅仅只是欧氏几何里的三维空间，欧氏几何之外还存在另外的几何。非欧几何的理论才能更加精确地描述和深刻地揭示任意的空间形式。因此，数学家们从根本上改变了对几何本质的原教旨理解。非欧几何的理论直接影响了一百多年来数学许多领域的发展走势，而且对天文学、宇宙学和天体物理学的发展以及人类时空观念都产生了极为深远的影响。正如A．爱因斯坦(Einstein)所指出的：“大量事实已经证明：从非欧几何发展起来的思想是无可限量的”。
１８９４年，鲍耶这位非欧几何的拓荒者离开人世34年后，匈牙利数学物理学会在偏僻小镇的荒郊找到了鲍耶的坟墓，他们在这座坟墓上竖立起鲍耶的雕像，并把他传世的唯一论文《空间的绝对几何学》列入世界数学经典之作，藉以纪念他创立非欧几何的不朽功绩。作为非欧几何创始人之一的他生前穷苦潦倒，学术思想无人重视，去世三十多年后，终于和高斯、罗巴切夫斯基一起，被数学界公认为非欧几何的创始人之一。
1905年，匈牙利科学院为了纪念雅诺什·鲍耶这位非欧几何的创始人，宣布设立“鲍耶奖”，奖金为一万克朗，以奖励在过去五年中为数学的进步做出巨大贡献的数学家。第一届“鲍耶奖”授予了数学大师J．H．庞加莱(Poincaré)。1910年秋天，第二届“鲍耶奖”授予了数学大师D．希尔伯特(Hilbert)。鉴于爱因斯坦将广义相对论的思想完全解析化,
从而证明了把星际空间看作非欧几何空间的真实性，
1915年希尔伯特又亲自提名将第三届“鲍耶奖”授予伟大的物理学家爱因斯坦。国际数学界对鲍耶在数学历史中的地位予以了充分的肯定。
参考文献
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