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“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

2014-12-19 14:09阅读：

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“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

杨明昆 王严学 杨昭国
(ygyzg@126.com)

1.“曳物线”
从曲线C上某一动点P的切线与某一定直线l的交点Q到点P的线段长恒为定值，则称曲线C为曳物线。直线l为其渐近线。［1］

“伪球面”的球心、曲率、面积和体积
图1 “曳物线”
2.“伪球面”
由“曳物线”绕其渐近线旋转而形成的回转曲面叫做“伪球面”。这种曲面的全曲率在每一点都是常数且是负的。［1］
考虑OXZ平面上的曳物线：如果曲线C上任意一点P的切线与z轴的交点Q到点P的线段长恒为定值RS，则称曲线C为曳物线。z轴称为曳物线的渐近线。
设曳物线C的方程为z=z(x)。若曳物线C上一点P(x，z)处的切线方程为Z-z=Z’(x)(X-x)，则切线与z轴的交点为Q(0，z-Z’(x)x)。
由∣PQ∣=RS，可知：在直角三角形△PTQ中，∣PQ∣2=∣QT∣2+∣TP∣2，即RS2=（Z’(x)x）2+x2，可得Z’(x)=±(√RS2-x2)/x，亦即dz=±（(√RS2-x2)/x）dx。

“伪球面”的球心、曲率、面积和体积
图2
令x=RSsint（0＜t≤π/2），有dz=±RS（cos2t/sint）dt=±RS（(1-sin2t）/sint）dt=±RS(1/sint-sint）dt=±RS(1/(2tan(t/2)cos2(t/2))-sint）dt，即：dz=±RS(1/(2tan(t/2)cos2(t/2))-sint）dt，于是有：z=±RS(lntan(t/2)+cost）。
于是，OXZ平面上以z轴为渐近线、定值为RS的曳物线方程是①：
“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

上述以z轴为渐近线、定值为RS的曳物线，绕它的渐近线z轴旋转而形成的回转曲面——“伪球面”RS，其在OXYZ直角坐标系中的参数方程是②：
“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

其中，0≤θ≤2π。
2.1“球心”
称“伪球面”内的“渐近线”为“伪球面的球心” ［2］。下图所示的“喇叭形”，就是一个以RS为半径的“伪球面”。［3］

“伪球面”的球心、曲率、面积和体积
图3 “伪球面”
在这里，“伪球面”的“球心”是一条直线——“伪球面”内的“渐近线”——形成“伪球面”的“曳物线”的“渐近线”。
我们的讨论认为，“奇点视界”就是一个“伪球面”，还是一个“三维球面”：在“四维空间”中，其中的“任意一点” ——都是由一个“点”——“奇点”“大爆炸”而来——与“奇点”等距。［4］［5］
2.2“曲率”
对于上述的“伪球面”RS的曲率K，可以用下述的“参数曲率公式”③计算［6］：
“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

把x(t)=RSsintcosθ，x’(t)=RScostcosθ，x’’(t)=-RSsintcosθ，y’(t)=sinθcost，y’’(t)=-sinθsint，z’(t)=RScos2t/sint，z’’(t)=-RS(cost+sin2tcost)/sin2t代入③，计算可得：K=-1/RS2。
或者用“回转面曲率公式”④计算［6］：
“伪球面”的球心、曲率、面积和体积
把x(t)=RSsint，x’(t)=RScost，x’’(t)=-RSsint，z’(t)=RScos2t/sint，z’’(t)=-RS(cost+sin2tcost)/sin2t代入④，计算可得：K=-1/RS2。即⑤:
“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

2.3“面积”
上述“伪球面”RS是对应“曳物线”绕其“渐近线”的“回转面”，其面积记作S。
用垂直于z轴的两平行平面截取“伪球体”，可得高为dz、半径为x的一个圆柱的“面积微元”ds。

“伪球面”的球心、曲率、面积和体积
图4
由此可知，ds=2πxdz，把x=RSsint，dz=RS（cos2t/sint）dt代入得：ds=2πRSsintdz=2πRSsint（RS（cos2t/sint））dt=2πRS2cos2tdt，即：ds=2πRS2cos2tdt。
因此：S=∫ds=∫2πRS2cos2tdt =2πRS2∫cos2tdt=2πRS2∫((1+cos2t)/2)dt=πRS2∫(1+cos2t)dt==πRS2+πRS2∫cos(2t)dt =πRS2+ (πRS2/2) sin2t︱0π/2。
考虑到是积分的结果是“面积”，应该是：面积(πRS2/2) sin2t︱0π/2=(πRS2/2) （sin2t︱0π/4-sin2t︱π/4π/2）=(πRS2/2) （1+1）=πRS2。所以，S=2πRS2。即⑥：
“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

考虑到，与z轴正半轴对称的负半轴上的“曳物线”，将形成“对称”的“伪球面”。

“伪球面”的球心、曲率、面积和体积
图5 “正半轴”的“伪球面”
于是有半径为RS的全部的“伪球面“的面积⑦：
“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

可见，半径为RS的“伪球面”的“面积”，与半径为RS的“球面面积”是一样的。
2.4“体积”
上述“伪球面”RS和平面OXY围成的空间，称为半径是RS 的“伪球体”RS。“伪球体”RS的体积也称为“伪球面”RS的体积，记作V。
同样地，用垂直于z轴的两平行平面截取“伪球体”，可得高为dz、半径为x的一个圆柱体的“体积微元”dv。dv=πx2dz，把x=RSsint，dz=RS（cos2t/sint）dt代入得：dv=πRS2sin2tdz=πRS2sin2t（RS（cos2t/sint））dt=πRS3sintcos2tdt，即：dv=πRS3sintcos2tdt。
因此：V=∫dv=∫πRS3sintcos2tdt=πRS3∫sintcos2tdt=πRS3∫sintcos2tdt=(πRS3/3)cos3t︱π/20=πRS3/3，即V=πRS3/3。亦即⑧：
“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

与z轴正半轴对称的负半轴上的“曳物线”，将形成“对称”的“伪球面”。

“伪球面”的球心、曲率、面积和体积
图6 “伪球体”
所以，半径为RS的“伪球面”（“双侧对称”），围成的“伪球体”的“体积”是⑨：
“伪球面”的球心、曲率、面积和体积

可见，半径为RS的“伪球体”的“体积”，只有半径为RS的“球体体积”的一半。


参考资料:
［1］《曳物线》百度百科（http://baike.baidu.com/view/1725293.htm）
［2］《“伪球面”——“宇宙的另一极”》（

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