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π定理与量纲分析

2015-09-15 19:13阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2496878537

一、π定理介绍
设一物理现象与n个物理参数q1,q2,q3,……,qn有关，并且可以由函数关系所描述：
​​​f(q1,q2,q3,……,qn)=0
如果所有相关物理参数所涉及到的基本量纲数为m，就可以将n个物理参数组合成n-m个独立的无量纲参数∏1,∏2,∏3,……, ∏n-m ，而同一物理现象则可以由无量纲参数之间的函数关系所描述：​
F(∏
pan>1,∏2,∏3,……, ∏n-m)=0
由于无量纲参数的个数(n-m)少于原物理参数的个数(n)，所以函数关系所涉及到的变量个数少于函数关系，这样就使问题得到了简化。​
二、确定无量纲量∏的步骤​
1、如果n个物理参数的基本量纲数为m，则应该在n个物理参数中选取m个作为循环量。循环量选取的一般原则是：为了保证几何相似，应该选取一个与长度直接相关的变量；为了保证运动相似，应该选取一个与速度直接相关的变量；为了保证动力相似，应该选取一个与质量直接相关的物理量。m个循环量应包含问题所涉及到的所有m个基本量纲。
2、用这m个循环量与其它n-m个物理参数中的其它所有参数依次组合成无量纲综合参数。​
三、应用举例​
例 流体作用在圆球上的阻力F与球的运动速度（或者流体的来流速度）V∞、球的直径D、流体密度ρ和流体动力粘度系数μ有关，试运用∏定理求出与该物理现象有关的所有无量纲综合参数。
解 流动所涉及到的物理参数共有五个，即F、 ρ、 V∞、 D、 μ，因此。五个物理参数的量纲分别是：
[F]=[MLT-2]
[V∞]=[LT-1]
[ρ]=[ML-3]
[D]=[L]
[μ]=[ML-1T-1]
涉及到基本量纲[M]、[L]、[T]，因此m=3。 由P定理可知，可以组合得到n-m=2个独立的无量纲参数。
选ρ、V∞、D作为循环量，三个变量分别与质量、速度和长度直接相关，并且它们包含问题所涉及到的所有基本量纲[M]、[L]、[T]。用循环量与余下的F和μ依次组合成无量纲综合参数∏1和 ∏2。​
π定理与量纲分析
因为∏1无量纲，所以应该有：
π定理与量纲分析
​ 求解代数方程组得到：a = - 1，b = - 2，c = - 2。于是第一个无量纲综合参数为：
π定理与量纲分析
工程中常用无量纲的阻力系数Cd描述物体的阻力。显然，Cd=2∏1
π定理与量纲分析
对​∏2：
π定理与量纲分析
因为∏2无量纲，所以应该有：​
π定理与量纲分析
求解代数方程组得到：a = - 1，b = - 1，c = - 1

于是第二个无量纲综合参数为：

π定理与量纲分析
记Re=1/∏2=ρV∞D/μ，Re就是雷诺数。

圆球在流体中的运动阻力问题与五个物理参数有关，通常需要由五个参数之间的函数关系：
F=f1(ρ，V∞，D，μ)

​​现在运用量纲分析法构造了两个无量纲综合参数后，同一物理问题只与两个参数有关，因此可以由下列两个独立的无量纲参数之间的函数关系来描述，使实验大为简化：
π定理与量纲分析
​

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