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数学组---向量内积的坐标运算与距离公式

2013-06-26 11:25阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/2510834142

7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式
【教学目标】
1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．
2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．
3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
【教学重点】
向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．
【教学难点】
向量内积的坐标表达式的推导，即 a·b＝| a | | b | cos‹
a，b›与 a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．
【教学过程】
教学内容
1．已知非零向量a 与 b ，则a与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求cos‹a，b›？
2． a^b Û 　　　　　　；
3． | a | 与有何关系？
已知e1，e2 是直角坐标平面上的基向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出a·b 的坐标公式吗？
探究过程
a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)
＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2
＋a2b1e1·e2＋a2b2e2·e2，
又因为
e1·e1＝1，e2·e2＝1，e1·e2＝0，
所以
a·b＝a1b1＋a2b2．

定理 在平面直角坐标系中，已知e1，e2 是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
a·b＝a1b1＋a2b2．
这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．
我们还可以得到以下结论：

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