“异侧和最小，同侧差最大”在解析几何中的推广
一、题目出示：
09年四川高考题：（理第9题）已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是（
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“异侧和最小，同侧差最大”在解析几何中的推广
一、题目出示：
09年四川高考题：（理第9题）已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是（
A.2
【 解析】直线 为抛物线 的准线，由抛物线的定义知，P到 的距离 等于P到抛物线的焦点 的距离 ，故本题化为在抛物线 上找一个点 使得 到点 和直线 的距离之和即 最小，最小值为 到直线 的距离 ，即 ，故选择A。
二、问题提出
本小题考查抛物线的定义、用到了点到直线的距离公式及转化思想，属于综合题。
笔者在教学过程中使用本题时发现学生并不能够迅速的寻找到解题的切入点，并提出下列问题：
问题1：为什么要转化？
问题2：怎样想到用定义将抛物线上的点到准线的距离转化到焦点的距离进行求解？
问题3：这种题型以前出现过没有，又用什么方法及思想解决的？
三、解题反思
题1：光线从 射到直线 上点P以后，再反射到一点 ，求 的最小值.
分析：找A关于 的对称点A’(3,-3), 因为 ，由三角形两边之和大于第三边可知，其最小值为 .
变式1：求 。
分析：由三角形两边之差小于第三边易知
点评：本题中A,B为定点，P为直线上一动点，直线将平面分为两部分，当A,B在直线异侧时可求动点到定点和的最小值（若A,B同侧，则通过找对称点转化为异侧），当A,B在直线同侧时可求动点到定点差的最大值（若A,B异侧，则通过找对称点转化为同侧），可简称“异侧和最小，同侧差最大”。
抛物线也将平面分为两部分，因此，可类比题1将抛物线看作前面的直线 ，抛物线内外部看作“异侧”，因为问题为求和最小， 与 在抛物线“同侧”，所以用定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，即“异侧”处理，从而打开解题的突破口。其中用到的即是上述中“异侧和最小，同侧差最大”的思维方式。
本题还可作如下变式：
①已知直线 ，抛物线 上一动点 到直线 的距离为d，A(4,5),求
分析：原理同上，问题为求和最小，点A与 在“同侧”，所以用定义转化为“异侧”处理。略解：
②已知直线 ，抛物线 上一动点 到直线 的距离为d， ,求 的最大值。
分析：原理同上，问题为求差最大，点A与 在“异侧”，所以用定义转化为“同侧”处理。略解：
= = =
四、类比推广
题2：已知P(t,t), ,点M是圆 上的动点，点N是圆
上的动点，求 。
分析：圆 关于L对称的圆为圆 ,
= =( )
,因为 , =2
题3：椭圆 ，M ,P为椭圆上一动点，求
分析：椭圆将平面分为两部分，即内部与外部。易判断点M在椭圆的内部，离心率e= ,类比前两题将椭圆看作前面的直线L，椭圆内外部看作“异侧”，因为定点M， 均在同侧（内部），又求和最小问题，所 以将问题用第二定义转化为“异侧”处理，从而打开解题的突破口。略解： = ,此时
追问：求
解析：利用统一定义转化为“同侧”差最大问题解决， =
题4： 是双曲线 的右支上一点， 到双曲线的右准线的距离为 ， 是圆 上的点，求 的最大值。
解析：双曲线将平面分为三个部分，可将左右看作内部，中间部分为外部。利用统一定义将问题转化为内部即“同侧”差最大问题解决。
=
= =8