“牛奶盒的包装问题”教学案例
2013-05-24 09:24阅读：
牛奶盒的包装问题
日照港第一小学 王艳
一、导入：“同学们喜欢喝牛奶吗？市面上牛奶盒的包装大多是什么形状的？（长方体）大家知道是什么材料制成的吗？（硬纸板）不仅仅是牛奶盒，大多数液体食品的外包装箱也都是用硬纸板制成的。课下，对‘牛奶盒的包装问题’感兴趣的同学进行了一定的研究，下面有请他们给大家汇报。”（板书课题）
一、
小组汇报：
1、第一小组：
生1：大家好，我们小组研究的是6个奶盒的包装。下面就将我们研究的成果展示给大家看。
大家看，这是一个牛奶盒，现在我将较大的面叫
A面，立的面叫
B面，上面的面叫
C面，这个牛奶盒分别有两个
A面两个
B面和两个
C面：再看
六盒牛奶盒有几种包装方法。
我们小组研究出，一共有〔9〕种分别是：（幻灯展示9中组合方式）
生2：接着我们又研究了两套方案来计算哪一种最省材料。
方案一：我们先用数面儿的方法来计算六个奶盒组成后图形的表面积。
我们量出一个长方体奶盒的长、宽、高、分别是13cm、5cm、和3cm,并分别算出A、B、C每个面的面积分别是A面的面积:13×5=65c㎡ 、B面的面积:13×3=39c㎡和C面的面积3×5＝１５c㎡
这一个立体图形我们小组已经数过了，露在外面的A面一共有12个，B面一共也有12个，C面共有2个。我们用一个长方体奶盒的A面去乘组成后六个长方体奶盒露在外面的A面是 65×12=780平方厘米，也就是１２个Ａ面的面积，Ｂ面的道理和Ａ面相同用３９×１２＝４６８平方厘米是B面的面积；Ｃ面也一样用 １５×２＝３０平方厘米是２个Ｃ面的面积，再把１２个Ａ面、１２个Ｂ面和２个Ｃ面加起来７８０＋４６８＋３０＝１２７８平方厘米，１２７８平方厘米就是这个立体图形的表面积。
大家看第二种组合图形，它由6个A面，12个B面和4个C面组成的，我们算出6个A面的面积390平方厘米；12个B面是468平方厘米和4个C面的面积60平方厘米，把6个A面的面积、12个B面的面积和C面的面积加起来是918平方厘米。 我们用同样的方法计算出其它几种组合图形的表面积分别是：
1026平方厘米、1074平方厘米、1038平方厘米、778平方厘米、674平方厘米、818平方厘米、726平方厘米。
生1：方案二：我们研究时，把长方体奶盒的长视为A线段、宽视为B线段，高视为C线段（在PPT上红线代表A线段、紫线代表B线段绿线代表C线段）。我们以前学过计算长方体的表面积，那么我们也能运用计算长方体的表面积来计算6个小长方体所拼成所大长方体的表面积。
这种组合长方体的长、就是6条A线段的长度13×6=78cm；宽是一个长方体的宽5cm；高是一个长方体的高3cm，接着我们套用长方体表面积公式
：（长×宽+长×高+宽×高）×2是（78×5+78×3+3×5）×2=（390+234+15）×2=
639×2=
1278c㎡这就是这个长方体的表面积。我们用同样的方法得出其它几种的表面积分别是：918平方厘米、1026平方厘米、1074平方厘米、1038平方厘米、778平方厘米、674平方厘米、818平方厘米、726平方厘米。
通过两种方案的计算我们对比出最节省材料的是第七种，以上就是我们小组的研究成果，大家有什么问题吗？
学生质疑：“体积相同的情况下圆柱体最省材料，牛奶盒为什么不制成圆柱形的呢？”
学生解释：“通过研究调查发现，市面上液体包装成圆柱体的，通常使用金属材料，上下两个圆形的面不容易坏掉，如果用硬纸板制成圆柱形的来装牛奶会不结实。”
师评价：“一组的同学从组合图形的表面积入手，通过两种不同的方案研究出了6个奶盒最省材料的包装方式，并用数据说明问题，简单易懂。”
2、二组汇报：
生1：“大家好！我们小组研究的是牛奶盒隐藏的面，以及最省材料的方案。我们小组是从两个奶盒开始研究的。两个奶盒有三种组合方式（一人演示）第一种隐藏了两个大面，第二种隐藏了两个中面，第三种隐藏了两个大面。三个奶盒同样也是三种组合方式，和两个奶盒的组合方式是一样的。四个奶盒的组合方式有六种，前三种和两个奶盒、三个奶盒的组合方式是一样的，我们先从第四种说起，第四种隐藏了四个大面四个中面，第五种隐藏了四个大面四个小面，第六种隐藏了四个中面四个小面。接下来让我们小组的成员来介绍一下四个奶盒最省材料的组合方式。
生2：第四种和第五种的比较：（投影出示）
4 5
隐藏四个大面 四个中面
隐藏四个大面
四个小面
“我们从六种方法中找出了两种比较省材料的组合方式，分别是第四种和第五种，第四种隐藏了四个大面四个中面，第五种隐藏了四个大面四个小面。我们可以把两种方法的四个大面抵消掉，第四种方法就剩了四个中面，第五种方法就剩了四个小面，四个中面的面积肯定比四个小面的面积大，所以第四种组合方式表面积最小，最省材料。
五个牛奶盒的组合方式有三种，和两个牛奶盒、三个牛奶盒的组合方式是一样的。六个牛奶和的组合方式有九种，前三种也和两个牛奶盒、三个牛奶盒的组合方式是一样的，那我们从第四种组合方式说起，第四种隐藏了六个大面八个中面，第五种隐藏了六个大面六个小面，第六种隐藏了八个大面六个中面，第七种隐藏了八个大面六个小面，第八种隐藏了八个中面六个小面第九种隐藏了六个中面八个小面。经过我们的比较，知道了第六种隐藏了八个大面六个中面的最节省材料。
最后我们小组得出结论：隐藏的面积越大，表面积就越小，就越节省材料。当若干个小长方体组合成一个大长方体时，越近似正方体越节省材料。同学们有什么疑问吗？”
学生质疑1：“你们为什么要研究隐藏的面？直接数露在外面的面不更方便吗？”
研究人员解释：“因为研究中我们发现，不管几个奶盒组合成大长方体后，露在外面的面都会有三种不同的面，而隐藏的面大多数时候只有一种、两种，很少出现三种，这样我们在数面的时候就会更快，而且不容易数错。”
学生质疑2：“如果几个小长方体组合成一个正方体会不会更省材料？”
研究人员解释：“是的，既然我们的研究结论是，越接近正方体越省材料，那么当变成正方体后，肯定最省材料。”
师评价：“二组的同学通过研究组合图形中隐藏的不同的面，用对比的方法找出最省材料的方式，并大胆下结论：越近似正方体越省材料。有理有据，课下一定下了不少功夫。”
3、三组汇报：
生1：“大家好，我们小组研究的是24个奶盒的所有组合方式。因为现在市场上的盒装奶一箱大多为24盒。
在研究中我们发现：每行摆的个数×行数×层数=24，而且每行摆的个数、行数和层数都是24的因数，所以我们从24的因数入手，进行了深一步研究。
如果我们假设24个奶盒的体积是24，也就是说长×宽×高=24，长指一行有几个奶盒，宽指几行，高之摆了几层。首先我们把24的因数列出来。24的因数有（板书）：
1.
2. 3. 4. 6. 8. 12.
24，在这里，每一个因数都可以看做这个长方体的长或宽或高。接下来，我们来给24的因数分组，每组3个数，第一个数是长，第二个数是宽，第三个数是高。这三个数的乘积必须是24，而且其中可以有2个相同。
经过我们小组的反复研究，我们得出：三个数中如果有两个相同，就只有三种组合方式，例如（板书.+投影组合图形）：
（1，1，24）
3种
（2，2，6）
3种
如果3个数都不相同，就有六种组合方法，例如（板书+.投影组合图形）：
（1，3，8）
6种
（1，2，12
）
6种
（1，4，6，）
6种
（2，3，4）
6种
所以我们认为，24个奶盒共有30种组合方式。要想知道大于1的盒子数量有多少种组合方式，可以用组合这个数的因数来找所有的组合方法。”
生2：“我们还用相同的方法（投影），很快研究出了2------24个奶盒的组合方法，（出示表格）
盒子个数
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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组合方式
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3
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3
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6
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3
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9
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3
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10
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6
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盒子个数
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10
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11
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12
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13
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14
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15
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16
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17
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组合方式
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9
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3
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18
|
3
|
9
|
9
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12
|
3
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盒子个数
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18
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19
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20
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21
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22
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23
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24
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……
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组合方式
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18
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3
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18
|
9
|
9
|
3
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30
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……
|
我们发现：除了8之外，其他数量的组合方法的种数都是三的倍数.
学生质疑：“为什么2---24个奶盒除了8之外，其他数量的组合方法的种数都是三的倍数？“
回答：“因为长方体有三种不同的面。”
学生质疑：“为什么8盒的组合种数不是3的倍数？”
学生解释：“因为八个奶盒会有一组数据是（2，2，2），这三个数只有一种组合方法，所以不是三的倍数。大家有没有什么问题要问？”
学生质疑：“既然前几个小组说了，越接近正方体越省材料，那为什么不直接把奶盒做成正方体的？”
学生解释：“摆出的大长方体确实越接近正方体越省材料，但是正方体的奶盒不太方便携带，也不好设计正方体的棱长。一般牛奶都是250毫升的，你能想出来一个数的立方正好是250吗？而且就算奶盒是正方体，摆出来的不是正方体又有什么用呢？现在市场上的一般为24盒或12盒一箱的，想让摆出来的是正方体，需要像8盒奶这样的一个数量，三个相等的数的乘积。”
师：“那大家想一想，还会有哪个数会出现像8这样的情况？”
生：“27、64……”
师：“联系二组的研究思考一下，30种包装方式里最省材料的会出现在哪一种组合里？”
学生回答：“在（2，3，4）这一组里。”
“为什么？”
“这3个数字之间的差比较小，说明组合时长宽高越接，就会越接近正方体。”
“所以，通过观察三个数的特征，就能很快找出最省材料的一种。”
师小结：“三组同学能从复杂的现象中找到规律，找到数包装种数的科学方法，做到不重复、不遗漏，而且分析现象后敢于做出一定的猜想，这也是学习数学不可缺少的精神！”
4、四组汇报：
生1：“大家好！我们小组重点研究了12盒奶最省材料的包装方式。因为超市里卖的牛奶如蒙牛的特仑苏、伊利的金典及各种牛奶饮品大多是12盒装的。
一开始，我们小组在研究时经常会出现重复、遗漏的现象，后来，我们采用了三组的找因数的方法，很快研究出了12盒奶一共有18种组合方式。下面就让我们来展示一下。（投影）
12的因数有6个分别是：1、2、3、4、6、12，我们把这6个因数进行了四种组合：
组合一是（1，1，12）这三个数进行组合，第一种组合方式隐藏了22个大面，第二种隐藏了22个中面，第三种隐藏了22个小面，通过研究对比，我们得出，第一种组合方式隐藏面的面积最大，所以表面积最小，因此，这一种组合方式最省材料。
组合二是（1，2，6）这三个数进行组合，有6种组合方式，通过研究，我们得出隐藏20个大面和12个中面的组合方式是最节省材料的。
组合三是（1，3，4）这三个数进行组合，有6种组合方式，通过研究，我们得出隐藏18个大面和16个中面的组合方式是最节省材料的。
组合四是（2，2，3）这三个数进行组合，有3种组合方式，通过研究，我们得出隐藏16个大面、12个中面和12个小面的组合方式是最节省材料的。
生2：“通过测量计算，四种比较省材料的组合的隐藏的面积分别是：1487.2平方厘米、1898.2平方厘米、1844.2平方厘米、1944.8平方厘米，所以，最节省材料的是1944.8平方厘米（一人演示），
现在市面上12盒装的组合表面积是1900.6平方厘米（一人演示），不如我们研究的省材料。
师：“他们研究的这种最省材料的形状接近正方体吗？“
生：“接近。“
师：“这更进一步证明了二组虚的研究结论。假设12个奶盒排成一排是最省材料的，厂家会这样包装吗？”
生：“不会。”
师：“为什么？”
生：“携带不方便，也不美观。”
师：“是的，看来厂家在包装时不仅要考虑材料问题，还要考虑携带方便和美观问题。”
生3：“为此，我们还给环保局的局长写了一封信。”
尊敬的国家环保总局的领导：
您好！
我们是日照港第一小学六年级一班的学生，最近，我们对长方体奶盒的外包装问题进行了研究。通过研究，我们发现了12盒牛奶有18种组合方式，18种组合方式的表面积有着很大的差别，而市面上卖的12盒装的牛奶和饮料的外包装却不是最节省材料的，经过研究计算，我们得出表面积最小的组合，比市面上的包装节约了硬纸板约44.2cm²。
假如中国13亿人平均每人每年一共喝5箱12盒装的牛奶或饮料，采用我们研究出的外包装方式，那就会节省大约28730000平方米硬纸板，我们查了有关数据，粗略计算了一下，制造28730000平方米硬纸板大约需要32000棵二十岁的成年大树。
一个多么惊人的数字呀！我们相信还远远不止这些！如果厂家按照最节省材料的方法包装，每年大约32000棵大树就保住了，那么，十年，二十年……
最近我们国家了出现了严重的雾霾天气，这和环境污染有着直接的关系。保护环境，人人有责！为了我们共同的家园，希望您下令让包装企业采取我们的方案！谢谢！
祝身体健康，工作顺利！
日照港第一小学六年级一班全体师生
2013年3月26日
师：“这真是不研究不知道！”
生：“一研究吓一跳！”
三、总结：
1、师：通过这节课，大家有什么体会？
生1：研究小组的成果很令人佩服，像他们学习。
生2：团队的力量是伟大的！
生3：保护环境，人人有责！
2、师：一个小小的生活问题所蕴含的数学知识竟有如此之多，这更说明了数学与生活的密切联系!同学们都能带着一份较强的责任心和环保意识，积极投入到课题研究中去，研究方法巧妙，研究成果丰富，令人赞叹！课下把研究报告整理好，准备参加本学期的全市小课题研究报告的评选，相信一定会取得优异的成绩！
