剩余定理的解题方法：
2013-12-21 16:46阅读：
一、中国剩余定理题型介绍
《孙子算经》记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
实际上这道题的意思是一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。
类似于如上的题目都属于剩余定理的题型。
二、中国剩余定理的两种解法
（1）
层层推进法
通过举例子来说明什么是层层推进法解题
例1．在1000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有多少个？（
）
A
．5
B．6
C．7
D．4
[答案]A
[解析]层层推进法。满足“除以3余2”的最小自然数为2；在2的基础上每次加3直到满足“除以7余3”，这个数为17（17满足“除以3余2，除以7余3”）；在17的基础上每次加21（3和7的最小公倍数）直到满足“除以11余4”，这个数为59（59满足“除以3余2，除以7余3，除以11余4”），59为满足所有条件的最小自然数，故满足所有条件的数可表示为231n+59（231为3、7、11的最小公倍数），当n=0，1，2，3，4时，此数在1000以内，即有5个数。故选B。
注：层层推进法是解决剩余定理解题的基本方法，也是解决剩余定理题目的通法，但是层层推进法解题比较麻烦，下面给大家介绍一种解题较为快速的方法公式法。
（2）公式法
1．余同取余，最小公倍数(公倍数)做周期。
如果一个数除以几个不同的数，余数相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与余数相加的形式。
如“一个数除以3余1，除以4余1，除以10余1”，则这个数可表示为60n+1（60为3、4、10的最小公倍数，n=0，1，2，……）。
2．和同加和，最小公倍数(公倍数)做周期。
如果一个数除以几个不同的数，除数与余数之和相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该和（除数与余数之和）相加的形式。
如“一个数除以5余4，除以6余3，除以8余1”，则这个数可表示为120n+9（120为5、6、8的最小公倍数，n=0，1，2，……）。
3．差同减差，最小公倍数(公倍数)做周期。
如果一个数除以几个不同的数，除数与余数之差相同，则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该差（除数与余数之差）相减的形式。
如“一个数除以3余1，除以4余2，除以10余8”，则这个数可表示为60n-2（60为3、4、10的最小公倍数，n=1，2，3，……）。
注意：剩余定理研究的都是正整数，所以在公式3里面不能从0开始，因为是0的时候为负数。
总结：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数为最小周期。
注：公式法解决剩余定理是常考的题型，所以公式法虽简单但是并不是能解决所有的题目。
三、精选例题
例2．三位运动员跨台阶，台阶总数在100~150级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶，最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。则这些台阶总共有（
）级。
A．119
B．121
C．129
D．131
【答案】A
【解析一】根据题意可知，这些台阶的级数除以3余2，除以4余3，除以5余4。将各选项代入，只有A项符合。故选A。
【解析二】根据题意有差同，根据“差同减差，最小公倍数做最小正周期”，台阶总数x可以表示为60n-1（n为正整数），当n=2时，x=119。故选A。
例3．自然数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的三位数有几个？
A．6
B．9
C．15
D．16
【答案】C
【解析】由于余数相同，且6、5、4的最小公倍数为60，故根据“余同取余，最小公倍数做最小正周期”，自然数N可以表示为60n+3（n为整数）。由100≤60n+3≤999得97/60≤n≤16.6，故n=2，3，…，16，即符合条件的数有15个。故选C。
注：当然所有的剩余定理问题都可以用层层推进法解题，但是如果能熟练运用公式法就可以快速解题。
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