图形的测量
2012-07-12 07:20阅读：
专题四 图形的测量
——图形求积的探索与应用
本专题要解决的关键问题
1、如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，积累数学活动经验。
2、如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意识和能力，体验解决问题方法的多样性。
3、如何以图形的测量为载体，培养学生的推理能力。
其实对于图形，人们往往首先关注它的大小。一般地说，一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。图形的大小是可以度量的，而度量的实际操作就是测量。新课程标准对于图形测量（求积）的内容提出了具体的要求，要让学生掌握一些基本图形的长度（包括周长）、面积和体积的测量方法和公式，在具体问题中进行恰当的估测。
同时，课程内容要反映数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
一、如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，积累数学活动经验。
以圆为例：
圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线图形，对它的周长以及面积的探索和公式的给出都具有一定的挑战性，需要学生经历分析圆的半径与周长关系的过程，并通过对特殊情况的归纳得出圆的面积公式。这个过程有助于学生提高分析
问题、解决问题的能力，获得数学活动的经验，体会“转化” 和“极限”的思想。
转化思想的渗透：
如：在探索圆的周长与直径的关系的过程中，让学生经历圆周长的测量过程。（课件演示）测量方法一：用圆片在直尺上滚动，测量长度；测量方法二：用线绕圆片一周，把线拉直然后测量线的长度。这样既积累了测量的经验，又可以渗透化曲为直的转化思想。
再如：在圆的面积公式的推导过程中，引导学生将圆转化成已学过的长方形，三角形、梯形等图形，利用旧图形的面积公式推导圆的面积公式。让学生充分感受转化的数学思想。(课件演示)
极限思想的渗透：
如：在圆的周长教学中，向学生介绍“割圆术”，让学生经历正多边形到圆的形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感极限思想。
可以设计用小棒摆一个正三角形、正四边形、正六边形、正八边形、……
让学生认真观察，说说你的想法。
还可以借助电脑体会割圆的过程：
让学生从感官上体会“割之弥补，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”从而感受极限的数学思想。
函数思想的渗透：
在统计测量数据、填表、观察、发现周长与直径的关系的过程中，让学生体验直径变，圆的大小变，周长也随之变化，而它们的倍数关系不变，从而感受函数思想。
实验次数
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周长
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直径
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周长与直径的关系
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第一次
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第二次
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第三次
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……
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微积分思想的渗透：
在圆柱体体积公式的推导过程中，可以引导学生把圆柱体看成是相同大小的圆堆积而成，从而推导出圆柱体的体积公式。向学生渗透微积分思想。（课件演示）
数学思想方法是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心，是处理数学问题的指导思想和基本策略。它伴随学生知识、思维的发展逐渐被理解，而数学思想方法的感悟是在学生数学活动中积累的。学生只有在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，才能逐步感悟数学思想方法。
二、如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意识和能力，体验解决问题方法的多样性。
估测或估计是《标准》突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。
估测的意识和能力是在实践中发展起来的。《标准》要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，还要求“探索不规则图形的周长、面积、体积”。通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想。
案例: 测量不规则图形的面积
图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的面积。
如图一:
教师们对此题目并不陌生，解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合,最后累加起来,用此方法估计不规则图形的面积。这是我们常用的方法。但是这种估算不规则图形面积的方法并没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。充分体现该题的数学教育价值。
教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边观察边进行思考“你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？”
教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有113个这样的单位）。进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。
如图二：
(图二)
在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。
教师继续追问“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值。渗透极限思想。
如图三:
(图三)
“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能去教了，为了教估算而估算。“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和方法的培养。特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估计值更逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习是很有意义的。
三、如何以图形的测量为载体，培养学生的推理能力。
案例:
平行四边形面积公式的推导
一、引导学生大胆尝试、猜想
在前面学习长正方形面积的基础上,让学生大胆的猜测一下，平行四边形的面积公式。
猜想结果：
生1：底边×邻边
生2：底边×高
二、借助学具检验猜想
利用网格图，测量平行四边形的面积。
发现测量结果=底边×高
从而检验了自己的猜想
三、自主探究，验证结论
将平行四边形沿高剪开，平移，拼成一个长方形，找到平行四边形与长方形的联系，利用长方形的面积公式，推导出平行四边形的面积公式。从而验证了结论。
我觉得这个探索活动的设计，把推理能力的发展贯穿在整个数学学习过程中。让学生经历了观察、猜想、证明的过程，不仅有助于理清思路、发现结论，而且将合情推理和演绎推理有机的结合，有助于发展学生的逻辑思维能力，有利于实现“增强（学生）发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”
。
“推理”是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
“在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论”。合情推理是或然性推理，演绎推理是必然性推理。数学不仅需要演绎推理，同样需要合情推理。
总之，图形测量的相关知识对每个学生的学习和适应未来的生活非常有用，测量过程中蕴涵的方法和思想有助于学生提高分析问题和解决问题的能力。我们在教学中，一定要重视面积、体积等公式的推导过程，在推导公式的过程中让学生体会数学的思想方法，找到知识之间的联系，学会学习的方法，为今后的进一步学习打下坚实的基础。
布置作业
1、选择题
在圆的面积公式的推倒过程中，渗透的数学思想有（
）
A、极限思想
B、类比思想
C、函数思想
D、转化思想
2、开放题
（1）在图形测量的过程中,还哪些地方渗透了数学思想和方法,请举例说明。
（2）圆的面积教学思考
◆第一节课
教师引导学生将16个扇形拼成不同的图形—在拼上下功夫。下面是学生拼的图形:
◆第二节课
教师鼓励学生自由尝试解决圆的面积的问题。下面是学生的做法：
（1）圆中画一个内接四边形。
（2）圆中画小方格。
（3）教材中的“切蛋糕”。
思考：
①在上述的两个教学案例中，哪个学生的活动是富有数学价值的？说说您的理由。
②学生的想法和教材上的想法有没有什么联系？教材中为什么要“切蛋糕”？
③面对学生的想法，您在教学设计中如何处理？
