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数学归纳法典型例题
数学归纳法典型例题
由①②可知，对任何n∈N等式均成立
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例2 求证：(n＋1)(n＋2)……(n＋n)＝2n·1·3·5……(2n-1)(n∈N)
证明 ①当n＝1时等式左边=2，等式右边=2×1=2 ∴等式成立② 假设n＝k(h∈N)等式成立
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)=2k·1·3·5…(2k-1)成立
那么n＝k＋1时
(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)
＝2k+1·1·3·5…(2k-1)[2(k＋1)-1] 即n＝k+1 时等式成立 由①②可知对任何n∈N等式均成立．
说明 由k过渡到k＋1时，等式左边增加的因式是(2k＋1)(2k＋2)且减少一个因式(k＋1)，故在假设基础上两边同乘以2(2k＋1)．


例3 是否存在常数a、b、c使得等式
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解 假设存在a、b、c使题设等式成立，这时
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令n=3得：70=9a＋3b＋c
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解之 a=3 b＝11 c＝10
于是当n＝1，2，3时
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记Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2
假定n＝k 时上式成立，即
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那么当n＝k＋1时
Sk+1=Sk＋(k＋1)(k+2)2
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