数学基本思维2：降次与消元
2018-06-23 19:01阅读：
一元一次，一元二次，二元一次的问题我们会解，这是我们的解题的基石，在解答问题时，如果未知数的次数较高，我们就要考虑降次，降为一次或者是二次，相对来说就简单多了，同样的，当未知数多的时候我们就要想到消元（代入消元，加减消元），消掉未知数，变为一元的问题即可。关键的数学逻辑思维:化归，化繁为简。下面看几个例题来体会一下：
降次思想：
例1
已知x²+3x-3=0，求代数式x3+5x²+3x-10的值。
分析：关键是将三次方，二次方降为一次方。
由x²+3x-3=0，得：x²=3-3x代入上式得：（注：x3=x·x²）
x（3-3x）+5（3-3x）+3x-10，整理得：-3x²-9x-5，
继续将：x²=3-3x代入式，将二次项降为一次项即：
-3x²-9x-5=-3（3-3x）-9x-5=-14.
例2（2013荆门）设x1，x2是二次方程x²-x-2013=0的两个根，
求x13+2014x2-2013的值。
分析：关键是将三次方降为一次方。
x1，x2是二次方程x²+x-3=0的两个根，则x1²-x1-2013=0，
整理x1²=x1+2013，将其代入上式得：
x1(x1+2013)+2014x2-2013,整理得：x1²+2013x1+2014x2-2013，
继续代入降次，即：(x1+2013)+
2013x1+2014x2-2013，整理得：
2014(x1
+x2),由根与系数的关系可得：2014(x1+x2)=2014×1=2014.
例3（2015•菏泽）已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求m(m+1)2﹣m2(m+3)+4的值；
分析：关键是将三次方，二次方降为一次方。
m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根.则m2﹣m﹣1=0，整理：m2=m+1，
所求代数如果乘开的话会出现三次方，这就要考虑到降次，将代数式中的平方项（不要全部乘开，给自己制造麻烦，做题的关键是由繁变简）进行替换降次：m(m+1)2﹣m2(m+3)+4=
m(m2+2m+1)﹣m2(m+3)+4=m(m+1+2m+1)﹣(m+1)(m+3)+4=2m2-2m+1(继续替换降次)=2(m+1)-2m+1=3
对于例3，可能会先对要求值代数式进行乘开整理然后进行等值替换相对来说较为简单，但是这个地方，我们重要的是介绍降次思想的应用，解答相对麻烦。
总结：运用降次思想解题关键是将高次运用其基本思想1，进行等值替换降为低次，尽量的降为一次。
消元思想：
例：若两实数 x，y
满足2x 2+ y 2
= 6x， 求 x
2 + y 2 + 2x
的最大值．
解析:要求x 2 + y
2 + 2x 的最大值，
需消去一个元，得到一个一元函数，再求其最大值．
因为 y 2
=－2x 2 + 6x
≥ 0，
所以 x 2 + y
2 + 2x =x
2－2x 2 + 6x
+ 2x =－x2+8x =－ (x
－ 4) 2
+16．
因为 0 ≤
x≤ 3，
函数－ (x － 4)
2 +16 在0
≤ x ≤
3时， 随x
增大而增大，所以 x = 3 时，
x 2+ y2+ 2x
的最大值是 15．
（为什么0 ≤ x≤
3？因为y 2
=－2x 2 + 6x
≥
0，设S=－2x2 +
6x，即S≥0，令S=0，解得x1=0，x2=3通过函数图像判断S≥0所对应的图像在x轴上方，所以对应的x的范围为0
≤ x≤
3）
关键思想:运用基本思想1的位置与赋值，进行等值替换，消掉题目中的y
2，即消元,得到关于x的二次函数，求最大值的问题。
