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方差var、协方差cov、协方差矩阵（浅谈）-（二）_函数var

2012-05-06 16:57阅读：

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看完了三个概念之后，我们对三个概念有了一定了解（最起码公式要好好看看吧 方差var、协方差cov、协方差矩阵（浅谈）-（二）_函数var）

下面，我们来进入正题，说说matlab中的方差函数var 还有 协方差函数cov ,对于这两个函数，当然我们可以通过 matlab中help两下解决，但无奈对于英语是心有余而力不足 方差var、协方差cov、协方差矩阵（浅谈）-（二）_函数var，假如看官自认为英语还不错的话，你可以去help matlab去了。
好了，忠诚的小鸟们，开始上课：
这节咱们讲的是matlab中的方差函数var的用法及具体分析 ， var 是用来求方差的，但是首先我们应该清楚的区分两个概念，即方差和样本方差的无偏估计,简要来说（你要是不想简要，详细细内容可以看上一篇 方差var、协方差cov、协方差矩阵（浅谈）-（二）_函数var
）就是，方差公式中分母上是N，而样本方差无偏估计公式中分母上是N-1 （N为样本个数）。

OK！正题！
函数名称： var

函数功能：求解方差

函数用法：var（X) %与var(X,0)相同
var(X,W)
var(X,W,dim)

注：var(X,W) % W可以取0或1，取0求样本方差的无偏估计值（除以N-1；对应取1求得的是方差（除以N）， W也可以是向量，但必须与X中的第一个维度数相同，即length(W)= size(X,1)
所以还存在： var(X ,0 ,dim) % 除以N dim =1 对每列操作 dim = 2 对每行操作
var(X ,1 ,dim) % 除以N-1 dim =1 对每列操作 dim = 2 对每行操作

var(X,W,dim) % 关于W取向量时，把Ｗ看做Ｘ中观察值发生的次数（或者说概率也行）

下面详细介绍秘籍：
.........................................................
对于X是向量时，把向量中每个元素看做一个样本
var（X)或者var（X，0)函数输出这个向量中元素的样本方差的无偏估计值，var（X,1)输出的是样本方差
例1：
>> a = [1 6 1 4];
>> aa = var(a)
aa =
6
>> a_var = var(a,1)
a_var =
4.5000
>> (sum((a-mean(a)).^2))/(length(a))
ans =
4.5000
............................................................
对于X是矩阵时
把每行看做一个观察值，每列看做一个变量，函数输出一个行向量，每个元素计算的是该列的方差
例2：
>> X= [1 6 6;4 2 5;7 2 3]
X =
1 6 6
4 2 5
7 2 3
>> XX=var(X)
XX =
9.0000 5.3333 2.3333
>> (sum((X-repmat(mean(X),3,1)).^2))/(size(X,1)-1) %验证
ans =
9.0000 5.3333 2.3333
>> X_var = var(X,1)
X_var =
6.0000 3.5556 1.5556
>> (sum((X-repmat(mean(X),3,1)).^2))/(size(X,1)) %验证
ans =
6.0000 3.5556 1.5556
——————————————————————————————
对于var(X ,0 ,dim) 或者 var(X ,1 ,dim) 前面已说 0 对应 除以N-1； 1对应除以N； dim 指维度信息，默认为1，dim =1 就指对每列操作； dim =2 就指对每行操作。

下面以 var(X ,0 ,dim) 为例进行试验验证：
参考结果：默认为1情况↑（往上看）
>> var(X ,0 ,2)
ans =
8.3333
2.3333
7.0000
>> Y = X';
>> var(Y)
ans =
8.3333 2.3333 7.0000 （一样吧）
...............................................................
对于 var(X,W)、var(X,W,dim) 中W为向量的情况：
把Ｗ看做Ｘ中对应观察值发生的次数（或者说概率也行）处理，为了清除，现粘贴matlab部分源代码(笔者好心已加注释)如下：
function y = var(x,w,dim)
% The weighted variance for a vector X is defined as
%
% VAR(X,W) = SUM(W.*RESID.*CONJ(RESID)) / SUM(W)
%
% where now RESID is computed using a weighted mean.
wresize = ones(1,max(ndims(x),dim)); wresize(dim) = n;
w = reshape(w ./ sum(w), wresize);
% w 看做是x中每个观察值的出现次数，这样w ./ sum(w)即使每个观察样本出现的概率，
x0 = bsxfun(@times, w, x);
%根据这个概率权重求出期望值或者平均值sum(x0, dim)
x = bsxfun(@minus, x, sum(x0, dim));
%where now RESID is computed using a weighted mean. 这儿就是那个RESID
y = sum(bsxfun(@times, w, abs(x).^2), dim);
逐行验证：
>> clear
>> x= [1 6 6;4 2 5;7 2 3]
x =
1 6 6
4 2 5
7 2 3
>> w = [1 2 3];
>> dim = 1 ;
>> n = size(x ,dim)
n =
3
>> wresize = ones(1,max(ndims(x),dim))
wresize =
1 1
>> wresize(dim) = n
wresize =
3 1
>> w = reshape(w ./ sum(w), wresize)
w =
0.1667
0.3333
0.5000
>> x0 = bsxfun(@times, w, x)
x0 =
0.1667 1.0000 1.0000
1.3333 0.6667 1.6667
3.5000 1.0000 1.5000
>> x = bsxfun(@minus, x, sum(x0, dim));
>> y = sum(bsxfun(@times, w, abs(x).^2), dim)
y =
5.0000 2.2222 1.4722
>> var (x,w) %验证下成果
ans =
5.0000 2.2222 1.4722
你要是还感觉晕的话（ 方差var、协方差cov、协方差矩阵（浅谈）-（二）_函数var），下面以第一列为例说明W作用
>> X= [1 6 6;4 2 5;7 2 3];
>> a = X(:,1); %取出第一列
>> b = w ./ sum(w); %求出概率矩阵
>> a0=a.*b;
>> a1=sum(a0); %求出第一列在W概率加权下的平均值
>> a2=a -a1;
>> c = w.*(a2.^2) %W看做是每个观察值的出现次数，求出在此加权下的方差
>> sum(c)
ans =
5
注意： 需要注意的是，这种情况下求出的是样本的统计方差（也就是除以N的那种，因为式中w ./ sum(w)），并非样本方差无偏估计值
当然对于var(X,W,dim)中dim=1（对每列求方差）dim=2(对每行求方差)也可以进行验证，由于方式基本与之前的相同，在此不再赘述

二师兄，快到了！
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