相速度与群速度
2016-03-07 21:00阅读：
相速度与群速度
Phase Velocity and Group
Velocity
南京大學聲學研究所 王新龍
频散效应为诸多声学媒质和结构所有的重要物理性质。由于声速是频率的函数，不同频率的声波以不同的相速传播；如此，两个不同频率的声波序列经长时间后必将相互散开。又，声波信号多以波群形式存在，其中包含诸多频率相近的谐波成份，波形上往往呈包络调制型的波包脉冲。频散使得波包传播速度——群速度——异于相速度，或慢或快。在绝大多数情况下，群速度（几乎）等于声能传播的速度。因此，有必要区分相速度和群速度。本文阐述相速度和群速度的基本概念及其相互关系。
顾名思义，
相速度【注1】乃简谐声波相位传播的速度。频率ω、波数
k的简谐声波声压，
的相位
φ为
其传播速度
（1）
就是相速度。t =
t1
时刻、
x =
x1处的相位
φ取某值（例如，φ=π）。经过一段时间到
t =
t2
时刻，此相位移动到x =
x2处，即
由此得出，
可见，公式（1）定义的
cφ正是等值相位的传播速度。必须提醒，相速度与媒质声速是两个概念【1】。媒质声速
c0（speed
of sound）是媒质的声学特征量，由媒质的性质确定。通常情形（如自由空间）下，相速度
cφ等于媒质的声速c0。但在受限空间中，相速度不一定等于声速c0。例如，对于声管的高次（m，n）模式，其相位是
式中，
k是波数（
k=
ω/
c0），
kmn是第（
m，
n）模式的简正波数，而
kmn^(x)是该模式沿轴向传播的波数。因此，该模式的相速度是
（2）
可见，高次模式的相速度
cφ不但
大于（不等于）声速
c0，而且是频率
ω的函数，具有频散效应。
一般而言，在论及相速度时，把相位
φ视作时空双元函数：
随着声波的运动，时间和空间上保持
等值相位的位置x是时间的函数x=x(
t)，相速度是此等值（d
φ=0）相位的移动速度。所以，
群速度（group
velocity）则与此不同。它与一组频率略微不同的声波群有关。由于频率相近，波群呈现为幅度调制的包络型振荡声脉冲。譬如，振幅相等、频率分别为
ω1和
ω2、波数分别为
k1和
k2的两列平面简谐声压波可表为，
其相速度分别为
c1
=
ω1/k1，c2
=
ω2/k2
。叠加而成的合成声场的声压是
式中，
此乃波幅时空周期调制的包络型行波，相速度为
cφ=
ω0/
k0=(
ω1+
ω2)/(
k1+
k2)。声压的幅度
呈调制的包络形状，其传播速度当为
下图一是p的时空波形，其中设定两个波的频率和波数皆相近（ω1≈ω2，k1≈k2）。对于无频散的媒质，cφ=c1=c2，故
cφ
=
cg。但如果媒质是频散的，c1
≠
c2，因此，cg
≠
cφ，即波包的传播速度cg不等于相速度cφ。此波包传播速度cg
即群速度（Group
Velocity）
。下图一所示的群速度cg
<<
cφ，故波包几乎静止。群速度既可小于相速度，也可大于相速度，甚至可能是负的：尽管声波的相平面是前向传播的，波包却反向传播！
图一、两个频率波数相近但相速度不等的声压合成的总声压波形。明显可以看出，
cg
<<
cφ。
再举稍复杂的例子说明。
设频率
ω、波数
k的平面声压波
的波幅是频率的函数（声压的下标
ω特别标示频率为ω的波）：pa=pa(ω)。不失一般性，设波幅pa(ω)在频率空间具有高斯分布的形式
式中
p0、
ω0和Δ
ω皆常数。此
Δω（非前
Δω）衡量频带宽度，ω0是此频带的中心频率（或称之为标称频率）。可见，这些波以中心频率
ω0的成份幅度最大。假定所有的频率成份皆存在，则总的声压
p是所有频率成份的线性叠加
（3）
假如相速度
cφ是与频率无关的常数，则上列积分结果为
式中A=|p|是声压波的振幅，
（4）
此乃
幅度调制型包络波，振荡
频率ω0，时间宽度约
Δω，空间宽度约
cφ/
Δω。整个波形以相速度cφ行进：相位是，波幅包络A亦是，其传播如下图二蓝色的波形所示。不难看出，在相对于波包的运动坐标系中，波形是静止的。
图二、高斯调制包络脉冲传播：蓝色波形：无频散媒质（
cg=
cφ），红色波形：频散媒质（
cg=cφ/2）
。
但是，如果相速度cφ是频率的函数，则波数k=k(ω)=ω/cφ与频率的关系呈非线性；反之亦然。对此函数作关于中心频率ω0的泰勒展开
（5）
其中
cφ0=
cφ(
ω0)是
ω0谐波的相速度，而
cg定义为
（6）
就弱频散而言，波数与频率的非线性关系并不强烈，故而展开式（5）中仅保留前两项而略去其余，代入积分公式（3）求积，则可得到
（7）
式中波幅A由公式（4）定义。这种情形的相速度仍是cφ0，但波的振幅包络（波幅）A却以速度cg传播。此即群速度。上图的红色波形与蓝色波形相速度、振荡频率、空间宽度皆相同，唯其群速度小一半。不难从图可见，在相对波包的参考系中，波形不再静止，而是或左或右地移动。假设Δω<<ω0，则公式（7）中的幅度函数A是时空的缓变函数。在此假设下，可以证明【注2】，
即质点振速v与声压近乎平面声波的关系。因此，平均声能密度近似为
显见，声能以
群速度cg传播。
根据定义（6），群速度也可表为
（8）
因此，当且仅当d
cφ/d
ω=0（无频散），
cg=
cφ。视dcφ/dω取值之正负，群速度既可大于相速度（dcφ/dω>0）【注3】，也可小于相速度（dcφ/dω<0，如图一、二所示），甚至可负。另一个奇异的情形是dcφ/dω=-∞，结果cg=0，即波包（声能）静止！【注4】
绝大多数情形下，群速度cg等于能量传递的速度。例如，把公式（2）代入公式（8），求得声管高次（m，n）模式的群速度
（9）
它小于自由空间声速
c0（当然也小于该模式的相速度
cφ）。设坐标（
x，
y）位于横截面上，
z沿管轴方向。在管道中，
（m,n）简正模式Φmn满足二维拉普拉斯方程
（10）
式中Δ是两维拉氏算符，
kmn是属于该模式的简正波数。在刚性边界条件下，可以证明这些模式是正交的。对应模式
Φmn的声压
pmn和质点速度
vmn分别为
（11）
其中，
Amn是（m，n）模式的振幅，kz,mn是波矢的轴向（z）分量：
轴向声能密度（即单位长度的声能）
Emn是体声能密度对横截面S的积分：
（12）
把前列速度表达式（11）代入，经稍复杂的演算可证明：
其中最后等式应用了
Φmn满足的二维拉普拉斯方程，及其满足的刚性管壁边界条件。任意横截面上的声功率
Wmn为声强沿横截面的积分。经类似的推导，得出
比较两式知，
Wmn=
Emncg，即
cg是高次（m,n）模式声能的传播速度【注5】。诚然，不同简正模式，群速度cg亦不同。
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注释
【1】相速度异于作为媒质声特征参数的
声速，尽管在不少情形下两者相等（如无界空间中平面声波的传播）。声速的英文
是sound
speed，或speed of sound。但在专论波的相速度时，相速度多用英文词汇phase
velocity。
【2】读者可否验证之？
【3】cφ随频率增高而增大的现象在光学中谓之反常色散；反常色散致使群速度超光速。
【4】在光学中，零群速度表现为光被“捕获”！
【5】参见王新龙《声学基础》第五章课件；杜功焕《声学基础》第286页。
文址 http://xlwangnu.blog.163.com/blog/static/190719270201211137223678/
