数塔问题，简单的动态规划算法
2012-07-12 15:19阅读：
- 数塔问题：
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有形如图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，
- 一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
-
这道题如果用枚举法，在数塔层数稍大的情况下（如40），则需要列举出的路径条数将是一个非常庞大的数目。
- 如果用贪心法又往往得不到最优解。
- 在用动态规划考虑数塔问题时可以自顶向下的分析，自底向上的计算。
-
从顶点出发时到底向左走还是向右走应取决于是从左走能取到最大值还是从右走能取到最大值，
- 只要左右两道路径上的最大值求出来了才能作出决策。
-
同样的道理下一层的走向又要取决于再下一层上的最大值是否已经求出才能决策。
- 这样一层一层推下去，直到倒数第二层时就非常明了。
如数字2，只要选择它下面较大值的结点19前进就可以了。
- 所以实际求解时，可从底层开始，层层递进，最后得到最大值。
- 总结：此题是最为基础的动态规划题目，阶段、状态的划分一目了然。
- 而决策的记录，充分体现了动态规划即“记忆化搜索”的本质。
- */
- #include <iostream>
- #define MAX 20
- using namespace
std;
- int main()
- {
- cout << 'Please input N(lines)'
<< endl;
- int n;
- cin >> n;
- int a[MAX+1][MAX+1][3];
//[0]用来存数，[1]参与运算，[2]表示向左(0)，还是向右(1)
- //输入数塔
- for(int i =
1; i <= n; ++i)
- {
- cout << 'Please input line '
<< i << endl;
- for(int j =
1; j <= i; ++j) //第i行有i个数
- {
- cin >> a[i][j][0];
- a[i][j][1] = a[i][j][0];
- a[i][j][2] = 0;
- }
- }
- cout << endl;
- //计算
- for(int i =
n-1; i >= 1; --i) //从倒数第二行开始
- {
- for(int j=1;
j <= i; j++)
- {
- if (a[i+1][j][1] >
a[i+1][j+1][1]) //左边大
- {
- a[i][j][2] = 0; //选择左边
- a[i][j][1] += a[i+1][j][1];
- }
- else //右边大
- {
- a[i][j][2] = 1; //选择右边
- a[i][j][1] += a[i+1][j+1][1];
- }
- }
- }
- //输出数塔
- for(int i =
1; i <= n; ++i)
- {
- for(int j =
1; j <= i; ++j)
- {
- cout << a[i][j][0] << '
';
- }
- cout << endl;
- }
- //输出最大值
- cout << a[1][1][1] << endl;
- //输出路径
- for(int i =
1, j = 1; i<= n; ++i)
- {
- cout << '[' << i
<< ',' << j <<
']' << ' ->
';
- j += a[i][j][2];
- }
- cout << endl;
- return 0;
- }
免费馅饼
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)
Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 13392 Accepted Submission(s):
4418
Problem Description
都说天上不会掉馅饼，但有一天gameboy正走在回家的小径上，忽然天上掉下大把大把的馅饼。说来gameboy的人品实在是太好了，这馅饼别处都不掉，就掉落在他身旁的10米范围内。馅饼如果掉在了地上当然就不能吃了，所以gameboy马上卸下身上的背包去接。但由于小径两侧都不能站人，所以他只能在小径上接。由于gameboy平时老呆在房间里玩游戏，虽然在游戏中是个身手敏捷的高手，但在现实中运动神经特别迟钝，每秒种只有在移动不超过一米的范围内接住坠落的馅饼。现在给这条小径如图标上坐标：
为了使问题简化，假设在接下来的一段时间里，馅饼都掉落在0-10这11个位置。开始时gameboy站在5这个位置，因此在第一秒，他只能接到4,5,6这三个位置中其中一个位置上的馅饼。问gameboy最多可能接到多少个馅饼？（假设他的背包可以容纳无穷多个馅饼）
Input
输入数据有多组。每组数据的第一行为以正整数n(0<n<100000)，表示有n个馅饼掉在这条小径上。在结下来的n行中，每行有两个整数x,T(0<T<100000),表示在第T秒有一个馅饼掉在x点上。同一秒钟在同一点上可能掉下多个馅饼。n=0时输入结束。
Output
每一组输入数据对应一行输出。输出一个整数m，表示gameboy最多可能接到m个馅饼。
提示：本题的输入数据量比较大，建议用scanf读入，用cin可能会超时。
Sample Input
6 5 1 4 1 6 1 7 2 7 2 8 3 0
Sample Output
4
代码如下：
#include<iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int Max(int a, int b, int c=-1)
{
if(a < b) a = b;
if(a < c) a = c;
return a;
}
int dp[11][100001];
int n;
int main()
{
int x,t;
while(scanf('%d',&n)!=EOF && n!=0)
{
int time=0,i;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for( i=0;i<n;i++)
{
cin>>x>>t;
dp[x][t]++;
if(t>time)
{
time=t;
}
}
for( i=time-1;i>=0;i--)
{
dp[0][i]+=Max(dp[0][i+1],dp[1][i+1]);
dp[10][i]+=Max(dp[9][i+1],dp[10][i+1]);
for(int j=1;j<10;j++)
{
dp[j][i]+=Max(dp[j][i+1],dp[j+1][i+1],dp[j-1][i+1]);
}
}
printf('%d',dp[5][0]);
}
return 0;
}
