几个重要不等式及其应用
2012-07-18 20:09阅读：
原文地址：特级教师高考数学首轮复习第77讲-几个重要不等式及其应用作者：世纪之教
一、重点叙述
1.几个重要的不等式
①均值不等式:
Ⅰ、两个正数的平均不等式(即基本不等式):
模型:如果,,那么,当且仅当时,等号成立。
Ⅱ、三个正数的平均不等式:
模型:如果,,,那么,当且仅当时,等号成立。
Ⅲ、个正数的平均不等式:
模型:如果
,那么,当且仅当
时,等号成立。
②柯西不等式:
Ⅰ、二维形式的柯西不等式:
模型:如果都是实数,那么,当且仅当,或时,等号成立。
Ⅱ、向量形式的柯西不等式:
模型:如果是两个向量,那么,当且仅当是零向量,或存在实数,使时,等号成立。
Ⅲ、三角形式的柯西不等式:
模型:如果,那么。
Ⅳ、一般形式的柯西不等式:
模型:设非零实数组及实数组,则
,
当且仅当时,等号成立。
③排序不等式:
模型:设有两组数;满足
,
。
则有
(反序和)
(乱序和)
(同序和)。
④贝努利不等式:
Ⅰ、贝努利不等式:
模型:设,则有。
Ⅱ、贝努利不等式的一般形式:
模型:如果,那么当时,有;当,或时,;上述当且仅当时,等号成立。
2.重要不等式的应用
①利用重要不等式可以求最值,可以证明不等式或解决实际问题,无论如何都要理解重要不等式的内涵,重在“构造”,才能达到运用重要不等式的目的。
②利用重要不等式证明不等式,不等式的证明方法不可缺少,常用的比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法、反证法等,都要理解其特点,才能灵活应用。
二、案例分析
案例1：（2010江苏·21）设是非负实数，求证：。
分析：一般用求差比较法证明，即“作差、变形、判断正负”，关键是变形、因式分解；由于“因”不明确，也常常可以用分析法证明。
证明：（证法1-比较法）
∵
，
又实数
， ∴
，且
，
∴
∴
，
所以
。
（证法2-比较法）∵实数
，作差得
。
当
时，
，从而
，于是得
；
当
时，
，从而
，于是得
。
∴
，
所以
。
（证法3-分析法）要证
，
即证
，
只要证
，
若
，则
，
，于是
，所以
成立；
若
，则
，
，于是
，所以
成立；
也就是非负实数
无论大小如何，不等式
都成立，
所以不等式
成立。
案例2：（2010辽宁·理）已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
分析：设计二元或三元的平均值不等式证明，如
可以设计
，也可以设计
，
，
，于是有
，当且仅当两个元或三个元相等时，等号成立。如果多次地设计应用平均值不等式，那么每一次的等号成立的条件都必须具备。
证明：（证法1-综合法）∵
均为正数，由平均值不等式得
（当且仅当
时，等号成立），
（当且仅当
时，等号成立），
∴
（当且仅当
时，等号成立）。
∴
（当且仅当
时，等号成立）。
所以不等式
成立。
当且仅当
，且
时，等号成立。即当且仅当
时，原不等式等号成立。
（证法2-综合法）∵
均为正数，由基本不等式得
，
，
，
∴
（当且仅当
时，等de号成立）
同理
（当且仅当
时，等号成立）
∴
（当且仅当
时，等号成立）
所以原不等式成立。当且仅当
，且
时，即当且仅当
时，原不等式的等号成立。
案例3：已知，求证：。
分析：采用综合法证明，可以利用分析法“执果索因”，探得由基本不等式
，
入手证明；可以设计柯西不等式证明，即由
切入证明。显然，选择综合法，“因”的重要不等式的设计十分关键，除了应用分析法探路外，还要不断积累重要不等式应用的设计经验。
证明：(证法1-综合法) ∵
均为正数，由利用基本不等式，由分析法探得
，
∴
，
即
∴
，
∴
。
(证法2-综合法)∵
均为正数，由由柯西不等式得
，
即
，
∴
，
∴
化简得
。
案例4：设，求证：， ，不可能同时大于。
分析：要求证明“不可能同时大于
”，显然用反证法证明比较好。根据反证法证明 “反设、归缪、存真” 的程序，假设
，
，
同时大于
，利用基本不等式
推出矛盾，从而得出结论正确。
证明：假设
，
，
同时大于
，即
，
，
。
那么三个不等式相乘得
①
又∵
， ∴
，
同理
,
。
那么以上三式相乘得
。 与①矛盾。
所以假设错误，原结论成立，即
，
，
不可能同时大于
。
案例5：已知为正数，求证：。
分析：对于轮换对称的不等式，常常可以利用排序不等式证明，可以不妨设“序”，如
，于是产生所需的“序”
，
，由需要设计“乱序和不大于顺序和”得出
，利用柯西不等式推得
，
…，从而证得结论。当然，如果直接设计柯西不等式
，
那么很快水到渠成。本案例再次说明，重要不等式的设计或构建十分重要，不同的设计或构建常常产生不同的效果，务必深思熟虑，多方权衡。
证明：（证法1-综合法，利用排序不等式、柯西不等式证明）
∵
为正数，由不等式的对称性，不妨设
，则
，
。
∴
。
由排序不等式得
（乱序和不大于顺序和），
（乱序和不大于顺序和）。
两式相加得
。
由柯西不等式
，即
。
∴
，同理
，
。
∴
。
∴
所以
。
（证法2-综合法，利用柯西不等式证明）
∵
为正数，由柯西不等式
∴
。
∵
，
∴
。
评注：
上述两种证明方法都是综合法，但构造的重要不等式不同，前者构造排序不等式，后者构造柯西不等式，显然后者比较简捷，所以在证明不等式过程中，除了方法的选择外，关键的是如何构造重要不等式，构造得当，事倍功半，效果更好。
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