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小学六年级奥数之比例解行程问题专题

2020-05-07 20:46阅读：

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小学六年级奥数之比例解行程问题专题
知识点介绍：
（1） 什么是正比例：当两个相关联的量，商（或者比值）一定时，成正比例；1、相关联。2、商或者比值一定。比如速度一定,因为速度=路程÷时间，速度一定，也就是路程和时间的商一定，所以路程和时间成正比例。
（2） 什么是反比例:当两个相关联的量，乘积一定时，成反比例。
1、相关联。2、乘积一定。比如长方形的面积等于长×宽。当长方形面积一定时，即：长与宽的乘积一定，那么长与宽就成反比例。
（3） 行程问题当中的正反比例体现：
：当路程一定时，速度和时间成反比例；
速度与时间的乘积一定，所以速度和时间成反比例。
：当速度一定时，路程和时间成正比例；
路程÷时间的商一定，那么路程和时间成正比例。
：当时间一定时，路程和速度成正比例；
路程÷速度的商一定，那么路程和速度成正比例。
（4） 如何使用行程问题中的正反比例的方法来解题，我们要看清楚题目中到底是路程一定，时间一定，还是速度一定。
：路程=速度×时间，路程一定就是代表速度和时间两个相关联的量的乘积一定，所以速度和时间成反比例；
：速度=路程÷时间，速度一定就是代表路程和时间的比值或者商一定，所以路程和时间成正比例；
：时间=路程÷速度，时间一定就是代表路程和速度的比值或者商一定，所以路程和速度成正比例。

一、 基础例题
1、 小米和武汉童老师要从甲地去乙地，小米每分钟走60米，武汉童老师每分钟走80米，又知道小米用的时间比童老师多15分钟，问甲乙两地相距多少米？
武汉童老师分析：
路程一定，即都是从甲地到乙地。
路程一定，速度和时间成反比例。
V小米：V老师=60：80=3：4
时间比就为：
T小米：T老师=4：3
1份时间：15÷（4-3）=15分钟
老师时间：15×3=45分钟。小米时间=45+15=60分钟
甲乙全长：80×45=60×60=3600米。
2、 小米周六从家去公园与小米周日从家到公园步行的时间比是4：5，已知小米两天的速度差是每分钟相差20米，问周六和周日小米的速度分别是多少米每分钟？
武汉童老师分析：
周六和周日都从“家到公园”，所以“路程是一定的”
路程一定时，速度和时间成反比例。
因为：
T周六：T周日=4:5
所以速度比为：
V周六：V周日=5：4
1份速度=20÷（5-4）=20米每分钟
V周六=20×5=100米每分钟
V周日=20×4=80米每分钟
3、 小米和老师都是从甲地去乙地，发现老师比小米少用2分钟，知道老师每分钟走60米，小米每分钟走40米，问甲乙两地之间相距多少米？
武汉童老师分析：
相等的是什么？三个角度：速度，路程，时间。
速度不相等。时间也不相等。所以只能是路程相等。
路程一定时，速度和时间成反比例。
V小米：V老师=40：60=2：3
T小米：T老师=3：2
1份时间=2÷（3-2）=2分钟
所以
T老师=2×2=4分钟
甲乙距离为：4×60=240米

4、 小米和小明周六都从家里出发去公园玩，两人的速度相同，已知小米比小明多走了1000米，且小米和小明的时间比是7：5，问小米和小明各自走了多少米的路程？
武汉童老师分析：
是路程，速度时间哪一个是相等的。
路程显然不同，时间也不同，只能是速度相等，题目也说了：速度相等。
速度一定时，路程和时间成正比例。
因为
T小米：T小明=7：5
所以
S小米：S小明=7：5
所以，2份路程就是1000米
1份路程=1000÷（7-5）=500米，那么路程分别是：
500×7=3500米
500×5=2500米
5、 路程一定时，速度和时间成（ B ）比？
A:正 B：反 C：不成
6、速度一定时，路程和时间成（ A ）比？
A:正 B：反 C：不成
7、时间一定时，路程和速度成（ A ）比？
A:正 B：反 C：不成
8、在行程问题中，S表示（ B ），V表示（ C ），t表示（ A ）。
A：时间 B:路程 C:速度
拓展（相关）一下
9、工作总量一定时，工作效率和工作时间成（ B ）比？
A:正 B：反 C：不成
分析：
工作总量=工作效率×工作时间，所以工作总量一定时，工作效率和工作时间的乘积一定，乘积一定，我们说了成反比例的。所以选择B。
10、圆里，周长和直径成（ A ）比？
A:正 B：反 C：不成
分析：周长和直径相关联。就看周长和直径的乘积一定吗？周长和直径的商一定吗？或者不成比例：指的是商和乘积都不一定。
因为周长=π×直径。所以周长÷直径=圆周率=π------是一定的，所以得到：周长与直径的比值或者是商是一定的，所以周长和直径成正比例。
二、 提升例题
1、 一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以原速行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比原定时间提前1时到达。求甲、乙两地的距离。
小学六年级奥数之比例解行程问题专题
武汉童老师分析：
路程一定，都是从甲到乙。速度和时间反比例。
（1）、速度比：1：120%=5：6，所以时间比：6：5，相差1小时，所以1份就是1小时，所以原来时间：1÷（6-5）×6=6小时。
（2）100千米按照原来速度行驶，所以100千米的速度不变，时间不加也不少。所以节约的1小时来自后面剩下的那段路程上。
剩下的路程上，路程不变，速度和时间反比例。
速度比 1：130%=10：13 时间比 13：10 相差13-10=3份时间对应1小时，所以1份时间=1÷3=1/3小时，所以剩下的这段原来时间为：13×1/3=13/3小时。
因为全长的原来时间是6小时，所以得到100千米的原来时间是：6-13/3=5/3小时
即：5/3小时原来走100千米的路程，所以原速度为：100÷5/3=60千米/小时
因为原来时间共6小时，所以全长为：6×60=360千米。
2、 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
小学六年级奥数之比例解行程问题专题
武汉童老师分析：
北京到上海的路程一定，速度和时间成反比例。
（1） 速度比 原来：现在=1：10/9=9：10，所以时间比就是 10：9.原来比现在多10-9=1份时间，1份时间=1.5小时，所以全长原来时间=1.5×10=15小时。
（2） 回来时，280千米速度为原来速度，所以280千米时间不增加也不减少，所以余下的路程时间节约了1小时40分钟，剩下的路程，速度比为：原来：现在=1：7/6=6：7，时间比，原来：现在=7：6，1份时间等于=1小时40分钟=100分钟。所以剩下的路程的原来时间是：100÷（7-6）×7=700分钟=35/3小时。
（3） 全长的原来时间为15小时，280千米原来时间不算，剩下的原来时间是35/3小时，所以280千米的原来时间为：15-35/3=10/3小时。即：10/3小时原来可以走280千米。所以原来速度=280÷10/3=84千米/小时。
（4） 全长=84×15=1260千米。
3、 某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？
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武汉童老师分析：
步行的人一个人一个方向，假设从A点出发，去往B方向；汽车和骑自行车的人一个方向，从B地过来。（假设汽车在B地超过骑自行车的人！）
当走路的在A点时，汽车与骑车人都在B点。10分钟走路的人与骑车相遇，合走一个AB全长。走路的与骑车的10+10=20分钟相遇，合走一个AB全长。
设走路速度为1份，那么骑车速度为3份，那么AB全长=走路的人与骑车的人合走20分钟的总路程，所以AB全长=20×（1+3）=80份。走路的人与汽车10分钟合作AB=80份路程，所以走路的人与汽车的速度和为：80÷10=8份，因为走路的人速度为1份，所以汽车速度为8-1=7份，所以汽车速度÷走路速度=7÷1=7--------7倍。
4、 从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的 小学六年级奥数之比例解行程问题专题。一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？
小学六年级奥数之比例解行程问题专题
武汉童老师分析：
S甲丙：S丙乙=2：3
V甲丙：V丙乙=1：2
所以上坡和下坡的时间比为：（2÷1）：（3÷2）=2：1.5=4：3
时间为7小时所以上坡即甲丙时间为7÷（4+3）×4=4小时。下坡时间为7-4=3小时。
假设上山速度为1份每小时，下山速度为2份每小时。
那么甲丙长度=1×4=4份，回来变成下山，时间为4÷2=2小时。
乙丙路程为：3×2=6份，回来变成上山，时间为：6÷1=6小时 总时间=2+6=8小时。
5、 甲火车4分行进的路程等于乙火车 5分行进的路程。乙火车上午8：00从B站开往A站，开出若干分后，甲火车从A站出发开往B站。上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A，B两站的距离的比是1516。甲火车从A站发车的时间是几点几分？
小学六年级奥数之比例解行程问题专题
武汉童老师分析：
甲4分钟与乙5分钟走的路程一样长，路程一样，速度和时间成反比例。V甲：V乙=5：4 。
乙火车走了9：00-8：00=1小时=60分钟，设甲乙速度分别为5份和4份，那么BC长度=60×4=240份，因为题目说的：AC：CB=15:16,所以16份就为240份，所以AC=240÷16×15=225份，甲每分钟走5份路程，走225份需要多少时间？225÷5=45分钟，所以甲或者到达C地时用了45分钟为9：00，所以甲出发的时间为9:00-45=8:15

6、 甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?
小学六年级奥数之比例解行程问题专题
武汉童老师分析：
设乙班同学走到D点上车。
乙班学生走AD路程的同时，汽车走AC+CD路程，这里是同时发生的，时间相等，速度和路程成正比例。
因为V车：V人=7：1
所以AC+CD: AD=7：1，所以我们得到：AD:CD=1:（7-1）÷2=1：3
同样道理
甲班走CB同时汽车走了CD+DB，时间一定，速度和路程成正比例。因为速度比7：1，所以路程比为：7：1，所以也可以得到DC:CB=3:1,
所以得到：
AD：DC:CB=1:3:1
全长是24千米
1份为：24÷（1+3+1）=4.8千米

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