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（倒摆线的一拱）
【摆线等时性的证明】
倒立转动后的摆线的参数方程为： x=rθ-rsinθ， y=-r+rcosθ,
其中r为此段摆线对应的动圆半径，θ为质点相对于铅垂线转过的角度。
质点下滑的出发点 P 所对应的参数为 θ′(0<θ′<π)。
当质点下滑到参数为 θ 的点时，根据能量守恒定律，质点丧失的势能转变成动能，
所以质点在该处的瞬时速度为 v(θ)=√(2rg(cosθ′-cosθ))。
另一方面，弧长 s 的微分为 ds=√((dx)*(dx) (dy)*(dy))=2r*sin(θ/2)dθ
于是，质点滑落到最低点 C所需的时间为：
此积分值等于 π√(r/g)，与θ′无关，与√r成正比。
若取g=10，则质点滑落到最低点所需的时间为：0.993√r。
若取g=9.8，则质点滑落到最低点所需的时间为：1.004√r。
一般计算，质点滑落到最低点所需的时间可取：√r。（米千克秒制）
【等时值 π√(r/g) 的计算】
先求原式=√[(1-cosθ/(cosθ′-cosθ)])dθ的积分
记cosθ'=a，(-1≤a≤1)
设cosθ=x，dθ=-dx/√(1-x²)
原式=-∫√[(1-x)/(a-x)]*dx/√(1-x²)
=-∫dx/√[(a-x)(1+x)]
=-∫dx/√[a-(1-a)x-x²]
=-∫dx/√[a+k²-(x+k)²]，【记 k=(1-a)/2】
=-∫dx/√[j²-(x+k)²] ，
=-arcsin[(x+k)/j]＋C
=arccos[(x+k)/j]＋C
再求定积分
因，θ=π 时，x=cosθ=-1，x+k=k-1=-j，
终（θ=π）：原式=arccos[(k-1)/j]=arccos(-1)=π，
始（θ=θ′）：原式=arccos[(a+k)/j]=arccos(1)=0，
故
√(r/g)∫[θ′,π](√(1-cosθ)dθ)/√(cosθ′-cosθ)=π√(r/g)。
【前1/4拱倒摆线上下滑时间的计算】
因，θ=θ'=0 时，a=cosθ'=1，k=0，j=1，
终（θ=π/2）：
始（θ=θ'=0）：原式=arccos(1)=0，
故 t(π/2)=√(r/g)，为全程的1/π。
感言
θ'代表摆线上质点的出发点，
虽说可以任意改变，
但却是个任意常数，
怎么就成了无关的摆设呢？
从数学推算的最后步骤看，
在于k-1=-j，a+k=j，
这使得(x+k)/j都成了常数。
而从深层次的原因看，
微观上的和谐成就了宏观上的和谐，
摆线是一条自洽的跑道。