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《几何原本》前六卷命题小结（按证明目的）

2018-11-08 10:32阅读：

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刘瑞祥
1.证明线段相等的命题
  • 公理1——等于同量的量彼此相等。
  • 公理2——等量加等量，其和相等。（引申——等量的同倍量相等，等量的同等分量相等。）
  • 公理3——等量减等量，其差相等。
  • I.4——如果两个三角形中，一个的两边分别等于另一个的两边，而且这些相等的线段所夹的角相等，那么，它们的底边等于底边，三角形全等于三角形，这样其余的角也等于相应的角，即那些等边所对的角。
  • I.6——如果在一个三角形中，有两角彼此相等，则等角所对的边也彼此相等。
  • I.26——如果在两个三角形中，一个的两个角分别等于另一个的两个角，而且一边等于另一个的一边，即或者这边是等角的夹边，或者是等角的对边，则它们的其它的边也等于其它的边，且其它的角也等于其它的角。
  • I.33——在同一方向（分别）连接相等且平行的线段（的端点），则连成的线段也相等且平行。
  • I.34——在平行四边形面片中，对边相等，对角相等且对角线二等分其面片。
  • III.3——如果在一个圆中，一条经过圆心的直线二等分一条不经过圆心的弦，则它们交成直角；而且如果它们交成直角，则这直线二等分这一条弦。
  • III.14——在一个圆中等弦的弦心距也相等；反之，弦心距相等，则弦也相等。
  • III.29——在等圆中，等弧所对的弦也相等。
  • V.9——几个量与同一个量的比相同，则这些量彼此相等；且同一个量与几个量的比相同，则这些量相等。

2.证明角或弧相等的命题
  • 公理1、公理2、公理3（略）
  • 公设4——凡直角都相等。
  • I.5——在等腰三角形中，两底角彼此相等，并且若向下延长两腰，则在底以下的两个角也彼此相等。
  • I.8——如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边，并且一个的底等于另一个的底，则夹在等边中间的角也相等。
  • I.13——一条直线和另外一条直线所交成的角，或者是两个直角或者它们的和等于两个直角。
  • I.15——如果两直线相交，则它们
交成的对顶角相等。
  • I.26——如果在两个三角形中，一个的两个角分别等于另一个的两个角，而且一边等于另一个的一边，即或者这边是等角的夹边，或者是等角的对边，则它们的其它的边也等于其它的边，且其它的角也等于其它的角。
  • I.29——一直线和两条平行直线相交，所成的内错角相等，同位角相等，且同旁内角的和等于二直角。
  • I.32——在任意三角形中，如果延长一边，则外角等于二内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于二直角。
  • I.34——在平行四边形面片中，对边相等，对角相等且对角线二等分其面片。
  • III.20 ——在一个圆内，同弧上的圆心角等于圆周角的二倍。
  • III.21——在一个圆中，同一弓形上的角是彼此相等的。
  • III.22——内接于圆的四边形其对角的和等于两直角。
  • III.24——在相等线段上的相似弓形是相等的。
  • III.26——在等圆中相等的圆心角或者相等的圆周角所对的弧也是彼此相等的。
  • III.27——在等圆中等弧上的圆心角或者圆周角是彼此相等的。
  • III.28——在等圆中等弦截出相等的弧，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧。
  • III.32——如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线和圆相截，该直线和切线所成的角等于另一弓形上的角。
  • VI.3——如果二等分三角形的一角，其分角线截底成为两线段，则这两线段的比如同三角形其它两边之比；又，如果分底成两线段的比如同三角形其它两边的比，则由顶点到分点的连线平分三角形的顶角。（后半部分）
  • VI.5——如果两个三角形它们的边成比例，则它们的角是相等的，即对应边所对的角相等。
  • VI.6——如果两个三角形有一个的一个角等于另一个的一个角，且夹这两角的边成比例。则这两个三角形是等角的，且这些等角是对应边所对的角。
  • VI.7——如果在两个三角形中，有一个的一个角等于另一个的一个角，夹另外两个角的边成比例，其余的那两个角都小于或者都不小于直角。则这两个三角形的各角相等，即成比例的边所夹的角也相等。
  • VI.21——与同一直线形相似的图形，它们彼此也相似。

3.证明面积相等的命题
  • 公理1、公理2、公理3（略）
  • I.34——在平行四边形面片中，对边相等，对角相等且对角线二等分其面片。
  • I.35——在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。
  • I.36——在等底上且在相同二平行线之间的平行四边形彼此相等。
  • I.37——在同底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。
  • I.38——在等底上且在相同二平行线之间的三角形是相等的。
  • I.41——如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之间，则平行四边形是这个三角形的二倍。
  • I.43——在任意平行四边形中，对角线两边的平行四边形的补形彼此相等。
  • I.47——在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。
  • 第II卷
  • III.35——如果在一个圆内有两条相交的弦，把其中一条分成两段使其构成的矩形等于另一条分成两段构成的矩形。
  • III.36——如果在一个圆外取一点，且由它向圆作两条直线，其中一条与圆相截而另一条相切，则由圆截得的整个线段与圆外定点和凸弧之间一段构成的矩形，等于切线上的正方形。
  • V.9——几个量与同一个量的比相同，则这些量彼此相等；且同一个量与几个量的比相同，则这些量相等。
  • VI.15——在相等的两个三角形中，各有一对角相等，那么，夹等角的边成互反比例；又，这两个三角形各有一对角相等，且夹等角的边成互反比例，那么，它们就相等。（后半部分）
  • VI.16——如果四条线段成比例，则两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形；并且如果两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形，则四条线段成比例。（前半部分）
  • VI.17——如果三条线段成比例，则两外项构成的矩形等于中项上的正方形；又如果两外项构成的矩形等于中项上的正方形，则这三条线段成比例。（前半部分）
  • VI.31——在直角三角形中，对直角的边上所作的图形等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形的和。

4.证明不等关系的命题
  • 公理5——整体大于部分。
  • I.16——在任意三角形中，若延长一边，则外角大于任意一个内对角。
  • I.17——在任何三角形中，任意两角之和小于两直角。
  • I.18——在任何三角形中大边对大角。
  • I.19——在任何三角形中，大角对大边。
  • I.20——在任何三角形中，任意两边之和大于第三边。
  • I.21——如果由三角形的一条边的两个端点作相交于三角形内的两条线段，由交点到两端点的线段的和小于三角形其余两边的和，但是，其夹角大于三角形的顶角。
  • I.24——如果在两个三角形中，一个中的两条边分别等于另一个中的两条边，且一个中的夹角大于另一个中的夹角，则夹角大的所对的边也较大。
  • I.25——如果在两个三角形中，一个的两条边分别等于另一个的两条边，则第三边较大的所对的角也较大。
  • III.7——如果在一个圆的直径上取一个不是圆心的点，且由这点到圆上所引的线段中，圆心所在的一段最长，同一直径上余下的一段最短；而且在其余的线段中，靠近过圆心的线段中较远离的为长；这点到圆上可画出相等的线段只有两条，它们各在最短线段的一边。
  • III.8——如果在圆外取一点切从这点画通过圆的直线，其中之一过圆心而且其他的可任意画出。那么，在凹圆弧上的连线中，以经过圆心的最长；这时靠近通过圆心的连线大于远离的连线。但是，在凸圆弧上的连线上，在取定的点的直径之间的一条最短；这时靠近的连线短于远离的连线。而且由这点到圆周上的连线，相等的连线中只有两条，他们各在最短连线的一侧。
  • III.15——在一个圆中的弦以直径最长，而且越靠近圆心的弦总是大于远离圆心的弦。
  • III.16——由一个圆的直径的端点作直线与直径成直角，则该线落在线外，又在这个平面上且在这直线与圆周之间不能再插入另外的直线；而且半圆角大于任何锐直线角，而余下的角小于任何锐直线角。
  • III.31——在一个圆内半圆上的角是直角；在较大弓形上的角小于一直角；且在较小弓形上的角大于一直角；此外，较大的弓形角大于一直角；且较小的弓形角小于一直角。
  • V.10——一些量比同一量，比大者，该量也大；且同一量比一些量，比大者，该量较小。
  • V.14——如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比，且第一量大于第三量，则第二量也大于第四量；如果前二量相等，则后二量也相等，如果第一量小于第三量，则第二量也小于第四量。
  • V.20——如果有三个量，又有个数与它们相同的三个量，在各组中每取两个量都有相同的比，如果首末项第一量大于第三量，则第四量也大于第六量；如果前二者相等，后二者也相等；如果第一量小于第三量，则第四量也小于第六量。
  • V.21——如果有三个量，又有个数与它们相同的三个量，在各组中每取相应的两个量都有相同的比，而且它们成波动比例。那么，如果首末项中第一量大于第三量，则第四量也大于第六量；如果前二者相等，后二者也相等；如果第一量小于第三量，则第四量也小于第六量。
  • V.25——如果四个量成比例，则最大量与最小量的和大于其余两个量的和。

5.证明比例关系的命题
  • 第V卷
  • VI.1——等高的三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比。
  • VI.2——如果一条直线平行于三角形的一边，则它截三角形的两边成比例线段；又，如果三角形的两边被截成比例线段，则截点的连线平行于三角形的另一边。（前半部分）
  • VI.3——如果二等分三角形的一角，其分角线截底成为两线段，则这两线段的比如同三角形其它两边之比；又，如果分底成两线段的比如同三角形其它两边的比，则由顶点到分点的连线平分三角形的顶角。（前半部分）
  • VI.4——在两个三角形中，如果各角对应相等，则夹等角的边成比例，其中等角所对的边是对应边。
  • VI.8——如果在直角三角形中，由直角顶点向底作垂线，则与垂线相邻的两个三角形都与原三角形相似，且它们两个彼此相似。 推论：由此明显的，如果在一个直角三角形中，由直角向底作一垂线，则这垂线是底上两段的比例中项。
  • VI.14——在相等且等角的平行四边形中，夹等角的边成互逆比例；在等角平行四边形中，若夹等角的边成互反比例，则它们相等。
  • VI.15——在相等的两个三角形中，各有一对角相等，那么，夹等角的边成互反比例；又，这两个三角形各有一对角相等，且夹等角的边成互反比例，那么，它们就相等。
  • VI.17——如果三条线段成比例，则两外项构成的矩形等于中项上的正方形；又如果两外项构成的矩形等于中项上的正方形，则这三条线段成比例。（后半部分）
  • VI.19——相似三角形互比如同其对应边的二次比。推论：如果三条线段成比例，则第一条比第三条如同画在第一条上的图形比画在第二条上与它相似且有相似位置的图形。
  • VI.20——将两个相似多边形分成同样多个相似三角形，且对应三角形的比如同原形的比；又原多边形与多边形的比如同对应边与对应边的二次比。推论：类似的，可以证明：有关四边形的情况，形与形之比如同对应边的二次比；前边已经证明了三角形的情况。所以一般的，相似直线形之比是其对应边的二次比。
  • VI.21——与同一直线形相似的图形，它们彼此也相似。
  • VI.22——如果四条线段成比例，则在它们上面作的相似且有相似位置的直线形也成比例；又如果在各线段上所作的相似且有相似位置的直线形成比例，则直线线段也成比例。
  • VI.23——角各相等的平行四边形相比如同它们边的比的复比。
  • VI.24——在任何平行四边形中与它有共同对角线的平行四边形都相似于原平行四边形，并且也彼此相似。
  • VI.33——在等圆中的圆心角或圆周角的比如同它们所对弧的比。

6.证明直线平行的命题
  • I.27——如果一直线和两直线相交所成的错角彼此相等，则这二直线互相平行。
  • I.28——如果一直线和两直线相交所成的同位角相等，或者同旁内角的和等于二直角，则这二直线互相平行。
  • I.30——一些直线平行于同一条直线，则它们也互相平行。
  • I.33——在同一方向（分别）连接相等且平行的线段（的端点），则连成的线段也相等且平行。
  • I.39——在同底上且在同一侧的相等三角形必在相同二平行线之间。
  • I.40——等底且在底的同侧的相等三角形也在相同二平行线之间。
  • VI.2——如果一条直线平行于三角形的一边，则它截三角形的两边成比例线段；又，如果三角形的两边被截成比例线段，则截点的连线平行于三角形的另一边。（后半部分）

7.证明直线垂直的命题
  • I.定义10——一条直线与另一条直线相交所形成的两邻角彼此相等，两角皆称为直角，其中一条称为另一条的垂线。
  • 公设4——凡直角都相等。
  • I.48——如果在一个三角形中，一边上的正方形等于整个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角。
  • III.16——由一个圆的直径的端点作直线与直径成直角，则该线落在线外，又在这个平面上且在这直线与圆周之间不能再插入另外的直线；而且半圆角大于任何锐直线角，而余下的角小于任何锐直线角。（前半部分）
  • III.18——如果一条直线切于一个圆，则圆心到切点的连线垂直于切线。
  • III.31——在一个圆内半圆上的角是直角；在较大弓形上的角小于一直角；且在较小弓形上的角大于一直角；此外，较大的弓形角大于一直角；且较小的弓形角小于一直角。（前半部分）

8.证明圆与圆相切，或者圆与直线相切的命题
  • III.16推论——由此容易推出，由圆的直径的端点作和它成直角的直线切于此圆。
  • III.37——如果在圆外取一点，并且由这点向圆引两条直线，其中一条与圆相截，而另一条落在圆上。假如由截圆的这条线段的全部和这条直线上由定点与凸弧之间圆外一段构成的矩形等于落在圆上的线段上的正方形，则落在圆上的直线切于此圆。

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