1.给定一圆O及圆上任一点A，求作过A点的切线。
| 作法： 1.连接OA； 2.过A作OA的垂线l。 垂线l即为所求。 证明： 因为圆的切线与过这一点的半径垂直， 所以l是切线。 得证。 |
2.给定一圆O及圆外任一点，求作过A点的切线。
方法一
| 作法： 1.连接AO； 2.以AO为直径作圆，交圆O于B、C点； 3.连接AB、AC并延长。 直线AB、AC即为所求。 证明： |
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r> 连接OB、OC。
因为AO是直径，
AB与OB垂直，（直径所对的圆周角是直角）
所以AB是切线。（圆的切线与过这一点的半径垂直）
同理可证AC是切线。
以下仅就两圆相离的情况进行作图。
因为AO是直径，
AB与OB垂直，（直径所对的圆周角是直角）
所以AB是切线。（圆的切线与过这一点的半径垂直）
同理可证AC是切线。
方法二
| 作法： 1.连接AO，交已知圆O于B点； 2.以O为圆心，OA为半径作圆； 3.过B作BC与OA垂直，交所作的圆于C点； 4.连接CO，交已知圆O于D点； 5.连接AD。 直线AD即为所求。 证明： 因为OA=OC，OD=OB，角O是公共的， 所以三角形OAD与三角形OCB全等，（边角边） 即角ADO=角CBO，都是直角。 所以AD是切线。（圆的切线与过这一点的半径垂直） 得证。 类似方法可得到另一条切线。（本法无须依靠平行公理） |
方法三
| 作法： 1.以A为圆心，AO为半径作圆； 2.以O为圆心，以圆O直径为半径作圆，交前圆于BC； 3.连接BO，交已知圆于C； 4.连接AC。 AC即为所求。 证明： 连接AB、AO。 因为AB=AO，BC=OC，AC是公共的， 所以三角形ABC和三角形AOC全等，（边边边） 即角ACB等于角ACO，二者是直角。 所以AC与圆O相切。 得证。 类似方法可得另一条切线。 |
3.给定两圆O1、O2，求作其公切线。
各种情况汇总| 两圆相离 | 两外公切线，两内公切线 |
| 两圆外切 | 两外公切线，一内公切线与连心线垂直 |
| 两圆相交 | 两外公切线，无内公切线 |
| 两圆内切 | 外公切线与连心线垂直，无内公切线 |
| 两圆内含 | 无公切线 |
外公切线方法一
| 作法：
设O1半径为R1，O2半径为R2，且R1>R2。 1.以O1为圆心，R1-R2为半径作辅助圆； 2.过O2作辅助圆的切线，切点为A； 3.连接O1A并延长，交已知圆O1于B点； 4.过B作O1的切线l1。 此切线即为所求，同法可作另一公切线l2。 证明： 只需证明l1也是圆O2的切线。 过O2作O2C垂直l1于C点。 因为O2A是辅助圆的切线，所以O1A与O2A垂直。 同理，BC与O1A垂直。 又，因为O2C垂直l1于C， 所以AO2CB是矩形，且O2C=AB=R2。 即C在圆O2上。 又，因为O2C垂直l1于C， 所以l1是O2的切线。 得证。 当两圆半径相等时，过O1作O1A与O1O2垂直，交圆O1于A，过A作AB与O1A平行即可。 |
外公切线方法二
| 作法： 1.连接O1O2并延长； 2.过O1、O2作同向的平行线，分别交圆O1、圆O2于A、B点； 2.连接AB并延长，交O1O2于C点； 3.过C作O1的切线CD。 CD即为所求。 证明： 设圆O1半径R1>圆O2半径R2。 只需证明CD也是圆O2的切线。 连接O1D，并过O2作CD的垂线O2E，交CD于E。 因为CD是O1的切线， 所以O1D与CD垂直，（切线与过切线的半径垂直） 所以O2E与O1D平行，O2E/O1D=CO2/CO1。（平行线分线段成比例） 又因为O2B与O1A平行， 所以O2B/O1A=CO2/CO1。 即O2E/O1D=O2B/O1A。 其中O1D、O1A均为圆O1半径，O2B为圆O2半径， 所以O2E也是圆O2半径。 得证。（为简单起见，可以使O1A、O2B均与连心线成60度） |
内公切线方法一
| 作法：
设O1半径为R1，O2半径为R2。 1.以O1为圆心，R1+R2为半径作辅助圆； 2.过O2作辅助圆的切线，切点为A； 3.连接O1A，交已知圆O1于B点； 4.过B作O1的切线l1。 此切线即为所求，同法可作另一公切线l2。 证明： 只需证明l1也是圆O2的切线。 过O2作O2C垂直l1于C点。 因为O2A是辅助圆的切线，所以O1A与O2A垂直。 同理，BC与O1A垂直。 又，因为O2C垂直l1于C， 所以AO2CB是矩形，且O2C=AB=R2。 即C在圆O2上。 又，因为O2C垂直l1于C， 所以l1是O2的切线。 得证。 |
内公切线方法二
| 作法： 1.连接O1O2； 2.过O1、O2作反向的平行线，分别交圆O1、圆O2于A、B点； 2.连接AB，交O1O2于C点； 3.过C作O1的切线CD。 CD即为所求。 证明： 只需证明CD也是圆O2的切线。 连接O1D，并过O2作CD的垂线O2E，交CD于E。 因为CD是O1的切线， 所以O1D与CD垂直，（切线与过切线的半径垂直） 所以O2E与O1D平行，O2E/O1D=CO2/CO1。（平行线分线段成比例） 又因为O2B与O1A平行， 所以O2B/O1A=CO2/CO1。 即O2E/O1D=O2B/O1A。 其中O1D、O1A均为圆O1半径，O2B为圆O2半径， 所以O2E也是圆O2半径。 得证。（为简单起见，可以使O1A、O2B均与连心线成60度） |