新浪博客

数学证明题的证明方法:

2014-04-01 20:37阅读:
数学证明题的证明方法
(1)直接证明法
直接证明法是最常见的一种证明的方法,它通常用作证明某一类事物具有相同的性质,或者符合某一些性质的必定是某一类事物。
直接证明法有两种思路:
1、从已知的条件来推出结论,即看到条件的时候,并不知道它可以怎样推出结论,这时则可以先从已知条件按照定理推出一些中间条件(这一步可能是没有目的的,要看看从已知条件中能够推出些什么),接着选择可以推出结论的那个条件继续往下推演。
2、从结论反推回条件,即看到结论的时候,首先要反推一下,看看从哪些条件可以得出这个结论(这一步也可能是没有目的的,因为并不知道要用到哪个条件),以此类推一直到已知条件。通常这两种思路是同时进行的。
(2)
反证法

反证法适用于证明那些“存在某一个例子或性质”、“不具有某一种的性质”、“仅存在唯一”等的题目。
它的方法是首先假设出所求命题的
否命题,接着根据这个否命题和已知条件进行推演,直至推出与已知条件或定理相矛盾,则认为假设是不成立的,因此,命题得证。
例8.设G是
无向完全图,若对G的每条边指定一个方向,所得图称为竞赛图
证明:无有向回路(或有向圈)的
竞赛图D=中,对任意u,vÎV(D),有d+(u)≠d+(v)
本题是最显然的
反证法类型的证明题,假设其相等,然后找到一个例子,证明图中有圈。
例9.设G是有11个或更多
结点的图,证明G或G的补图是非平面图
本题的意思是证明G或G的补图不具有
平面图的性质,因为平面图有若干定理和性质,而非平面图则没有,因此用到反证法。其反证假设是:假设G和G的补图都是平面图,根据平面图的性质,推出它的结点数小于11。
例10.证明:在由群的一个子群所确定的
陪集中,只有一个陪集是子群。
这种仅存唯一的
证明方法是,首先证明它存在,对于本题,因为eS=S是子群,因此存在。然后再设假如存在另一个陪集是子群的话(反证),证明这两个陪集是相等的。这一证明方法用处非常广泛,证明唯一性的题目都可用这种方法来证明。
(3)
构造法
证明“存在某一个例子或性质”的题目,我们可以用反证法,假设不存在这样的例子和性质,然后推出矛盾,也可以直接构造出这么一个例子就可以了,这就是
构造法。通常这样的题目在图论中多见。值得注意的是,有一些题目其实也是本类型的题目,只不过比较隐蔽罢了,像证明两个集合等势,实际上就是证明“两个集合中存在一个双射”,我们可以假设不存在,用反证法;也可以直接构造出这个双射。
例11.设A={An |nÎN},B={Bn |nÎN},且满足:
(1)对于任意的nÎN,有An ~Bn;
(2)对于任意n≠n',有An∩An' = Æ ,Bn∩Bn' =Æ。
求证:∪A~∪B。
本题的解法就是从已知的条件中构造一个从集合∪A到集合∪B的双射,而使用常规的证明两个集合等势的定理(Cantor-Schroder-Bernstein定理)是无法证明本题的。
(4)
数学归纳法
数学归纳法是证明与自然数有关的题目,而且这一类型的题目可以加入递推思想。做这一类型题目的时候,要注意的一点就是所要归纳内容的选择。
例12.证明在一棵t叉树中,外部通路E和内部通路I具有的关系是
E=(t-1)I+t·k其中,k是分枝点数。
这里自然数非常多,如E、I、k等。所以,正确选择归纳内容为解决本题的关键,在这三个变量当中,应该对哪一个进行归纳呢?我们选择了变化比较少并且容易和其他两者进行联系的k来作为归纳的对象。
例13.设G是连通简单图,但不是完全图,则存在3个结点u、v和w,使uv,vwÎE(G),但uwÏE(G)。这道题用归纳法的思路就比较隐蔽,想一想,为什么要用归纳法

我的更多文章

下载客户端阅读体验更佳

APP专享